Giải bài 6 trang 85 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC ( $\widehat B > \widehat C$ ), phân giác AM. Gọi O, O ₁ , O ₂ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AMB, AMC. Chứng minh rằng:

a) OO ₁ , OO ₂ , O ₁ O ₂ lần lượt là các đường trung trực của AB, AC, AM;

b) Tam giác OO ₁ O ₂ cân.

Lời giải chi tiết

a) Do OA = OB và O ₁ A = O ₁ B nên OO ₁ là đường trung trực của AB.

Tương tự OO ₂ , O ₁ O ₂ lần lượt là các đường trung trực của AC, AM.

b) Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AC, AM, AB; N là giao điểm của QO ₂ và AC. Ta có $\widehat {{\rm{O}}{{\rm{O}}_1}Q} = \widehat {RAQ} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2}( = {180^o} - \widehat {R{O_1}Q})$  (1).

Mặt khác $\widehat {{{\rm{O}}_2}NP} = \widehat {ANQ}$ nên ${90^o} - \widehat {{{\rm{O}}_2}NP} = {90^o} - \widehat {ANQ}$.

Suy ra: $\widehat {N{O_2}P} = \widehat {QAN} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2}$  (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {{\rm{O}}{{\rm{O}}_1}{O_2}} = \widehat {{\rm{O}}{{\rm{O}}_2}{O_1}}$. Do đó, tam giác OO ₁ O ₂ cân tại O.