Giải bài 6 trang 85 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho tam giác nhọn ABC ((widehat B > widehat C)), phân giác AM. Gọi O, O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AMB, AMC. Chứng minh rằng: a) OO1, OO2, O1O2 lần lượt là các đường trung trực của AB, AC, AM; b) Tam giác OO1O2 cân.
Đề bài
Cho tam giác nhọn ABC ( \(\widehat B > \widehat C\) ), phân giác AM. Gọi O, O 1 , O 2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AMB, AMC. Chứng minh rằng:
a) OO 1 , OO 2 , O 1 O 2 lần lượt là các đường trung trực của AB, AC, AM;
b) Tam giác OO 1 O 2 cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào khoảng cách từ tâm đến các điểm đường tròn bằng nhau.
Chứng minh \(\widehat {{\rm{O}}{{\rm{O}}_1}{O_2}} = \widehat {{\rm{O}}{{\rm{O}}_2}{O_1}}\) để suy ra tam giác OO 1 O 2 cân.
Lời giải chi tiết
a) Do OA = OB và O 1 A = O 1 B nên OO 1 là đường trung trực của AB.
Tương tự OO 2 , O 1 O 2 lần lượt là các đường trung trực của AC, AM.
b) Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AC, AM, AB; N là giao điểm của QO 2 và AC. Ta có \(\widehat {{\rm{O}}{{\rm{O}}_1}Q} = \widehat {RAQ} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2}( = {180^o} - \widehat {R{O_1}Q})\) (1).
Mặt khác \(\widehat {{{\rm{O}}_2}NP} = \widehat {ANQ}\) nên \({90^o} - \widehat {{{\rm{O}}_2}NP} = {90^o} - \widehat {ANQ}\).
Suy ra: \(\widehat {N{O_2}P} = \widehat {QAN} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2}\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {{\rm{O}}{{\rm{O}}_1}{O_2}} = \widehat {{\rm{O}}{{\rm{O}}_2}{O_1}}\). Do đó, tam giác OO 1 O 2 cân tại O.