Giải Bài 68 trang 88 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho góc xOy khác góc bẹt. Oz là tia phân giác của góc đó, M là một điểm bất kì thuộc tia Oz. Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A, cắt Oy tại C. Qua M vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy tại B, cắt Ox tại D. Chứng minh:
Đề bài
Cho góc xOy khác góc bẹt. Oz là tia phân giác của góc đó, M là một điểm bất kì thuộc tia Oz. Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A, cắt Oy tại C. Qua M vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy tại B, cắt Ox tại D. Chứng minh:
a) OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB;
b) Tam giác DMC là tam giác cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh: O và M cùng nằm trên đường trung trực của BC.
Suy ra: OM là đường trung trực của AB.
- Chứng minh: ΔADM=ΔBCM nên MD = MC
Suy ra tam giác DMC cân tại M.
Lời giải chi tiết
a) Vì Oz là tia phân giác của góc xOy nên ^xOz=^zOy
Xét ∆OAM và ∆OBM có
^OAM=^OBM(=90∘)
OM là cạnh chung,
^AOM=^BOM (do ^xOz=^zOy)
Do đó ∆OAM = ∆OBM (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra OA = OB và MA = MB (các cặp cạnh tương ứng).
Nên O và M cùng nằm trên đường trung trực của AB.
Vậy OM là đường trung trực của AB.
b) Xét ∆ADM và ∆BCM có
^DAM=^CBM(=90∘),
AM = BM (chứng minh câu a),
^AMD=^BMC (hai góc đối đỉnh)
Do đó ∆ADM = ∆BCM (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra MD = MC (hai cạnh tương ứng).
Do đó tam giác CDM cân tại M.
Vậy tam giác DMC cân tại M.