Giải bài 7 trang 8 sách bài tập toán 8 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho đa thức $G = \frac{1}{2}{x^2} + bx + 23$ với $b$ là một số cho trước sao cho $\frac{1}{2} + b$ là số nguyên. Chứng tỏ rằng: $G$ luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên $x$.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l}G = \frac{1}{2}{x^2} + bx + 23 = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x + bx + 23\\ = \left( {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x} \right) + \left( {\frac{1}{2}x + bx} \right) + 23\\ = \frac{{{x^2} - x}}{2} + \left( {\frac{1}{2} + b} \right)x + 23\\ = \frac{{\left( {x - 1} \right)x}}{2} + \left( {\frac{1}{2} + b} \right)x + 23\end{array}$

Do trong hai số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 2 nên $\frac{{\left( {x - 1} \right)x}}{2}$ luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên $x$. Mà $\frac{1}{2} + b$ là số nguyên, suy ra $\frac{{\left( {x - 1} \right)x}}{2} + \left( {\frac{1}{2} + b} \right)x + 23$ luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên $x$.

Vậy $G$ luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên $x$.