Giải bài 8.17 trang 57 SBT toán 10 - Kết nối tri thức
Khai triển \({\left( {{z^2} + 1 + \frac{1}{z}} \right)^4}\)
Đề bài
Khai triển \({\left( {{z^2} + 1 + \frac{1}{z}} \right)^4}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức khai triển \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\) với \(a = {z^2} + 1,b = \frac{1}{z}\) sau đó áp dụng công thức khai triển \({(a + b)^4}\),
\({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\), \({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\) với \(a = {z^2},b = 1\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \({\left( {{z^2} + 1 + \frac{1}{z}} \right)^4}\)
\( = {({z^2} + 1)^4} + 4{({z^2} + 1)^3}\frac{1}{z} + 6{({z^2} + 1)^2}{\left( {\frac{1}{z}} \right)^2} + 4({z^2} + 1){\left( {\frac{1}{z}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{z}} \right)^4}\)
\(\begin{array}{l} = ({z^8} + 4{z^6} + 6{z^4} + 4{z^2} + 1) + 4.({z^6} + 3{z^4} + 3{z^2} + 1)\left( {\frac{1}{z}} \right)\\ + 6({z^4} + 2{z^2} + 1)\left( {\frac{1}{{{z^2}}}} \right) + 4({z^2} + 1)\left( {\frac{1}{{{z^3}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{z^4}}}} \right)\end{array}\)
\( = {z^8} + 4{z^6} + 4{z^5} + 12{z^3} + 10{z^2} + 12z + 13 + \frac{8}{z} + \frac{6}{{{z^2}}} + \frac{4}{{{z^3}}} + \frac{1}{{{z^4}}}\)