Giải Bài 82 trang 92 sách bài tập toán 7 - Cánh diều
Cho tam giác ABC vuông tại C có ˆCAB=60°CAB^=60° , AE là tia phân giác của góc CAB (E ∈ BC). Gọi D là hình chiếu của B trên tia AE, K là hình chiếu của E trên AB. Chứng minh:
Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại C có ˆCAB=60°CAB^=60° , AE là tia phân giác của góc CAB (E ∈ BC). Gọi D là hình chiếu của B trên tia AE, K là hình chiếu của E trên AB. Chứng minh:
a) EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA;
b) EC = ED = EK.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng mính: ^KEB=^DEB suy ra EB là tía phân giác của góc DEK, ^KEA=^KEB suy ra EK là tia phân giác của góc BEA.
- Chứng minh: ∆ACE = ∆AKE (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra CE = KE và chứng minh ∆EKB = ∆EDB (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra EK = ED. Từ đó suy ra EC = ED = EK.
Lời giải chi tiết
a) Tam giác ABC vuông tại C có ^CAB+^CBA=90∘ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).
Suy ra ^CBA=90∘−^CAB=90∘−60∘=30∘.
Tam giác EBK vuông tại K có (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).
Suy ra ^KEB=90∘−^KBE=90∘−30∘=60∘.
•Vì AE là tia phân giác của góc CAB nên ^CAE=^BAE=12^CAB=12.60∘=30∘.
Tam giác ACE vuông tại C có ^CEA+^CAE=90∘ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).
Suy ra ^CEA=90∘−^CAE=90∘−30∘=60∘
Do đó ^DEB=^CEA=60∘ (hai góc đối đỉnh).
Ta có ^KEB=^DEB (cùng bằng 60°) nên EB là tia phân giác của góc DEK.
•Ta có ^KEA+^KED=180∘ (hai góc kề bù)
Hay ^KEA+^KEB+^BED=180∘
Suy ra ^KEA=180∘−^KEB−^BED=180∘−60∘−60∘=60∘
Do đó ^KEA=^KEB (cùng bằng 60°).
Nên EK là tia phân giác của góc BEA.
Vậy EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA.
b) Xét ∆ACE và ∆AKE có:
^ACE=^AKE(=90∘)
AE là cạnh chung,
^CAE=^KAE (chứng minh câu a).
Do đó ∆ACE = ∆AKE (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra CE = KE (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét ∆EKB và ∆EDB có:
^EKB=^EDB(=90∘)
BE là cạnh chung,
^KEB=^DEB (chứng minh câu a)
Do đó ∆EKB = ∆EDB (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra KE = DE (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) ta có EC = EK = ED.
Vậy EC = ED = EK.