Giải bài tập 23 trang 30 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình 4 bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy $x$ (cm) $\left( {0 \le x \le 16} \right)$ thì mặt cắt là hình tròn có bán kính $\left( {10 + \sqrt x } \right)$ (cm). Tính dung tích của chậu.

Lời giải chi tiết

Chọn trục $Ox$ sao cho $O$ trùng với tâm của đáy, chiều dương của trục là chiều hướng lên trên.

Khi cắt chậu nước bằng mặt phẳng song song với đáy và cách mặt đáy $x$, thì mặt phẳng đó cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$. Mặt cắt là hình tròn có bán kính $\left( {10 + \sqrt x } \right)$ (cm)

Như vậy, diện tích mặt cắt là $S\left( x \right) = \pi {\left( {10 + \sqrt x } \right)^2} = \pi \left( {x + 100 + 20\sqrt x } \right)$.

Suy ra dung tích của chậu là

$V = \int\limits_0^{16} {S\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^{16} {\pi \left( {x + 100 + 20\sqrt x } \right)dx}  = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 100x + 20.\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} } \right)} \right|_0^{16} = \frac{{7744}}{3}\pi$ (${\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$).