Giải bài tập 18 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Toán 12 Chân trời sáng tạo


Giải bài tập 18 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;2;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;3} \right)\). Chứng minh rằng nếu điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) thoả mãn \(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\) thì \(M\) thuộc một mặt cầu \(\left( S \right)\). Tìm tâm và bán kính của \(\left( S \right)\).

Đề bài

Cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;2;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;3} \right)\). Chứng minh rằng nếu điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) thoả mãn \(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\) thì \(M\) thuộc một mặt cầu \(\left( S \right)\). Tìm tâm và bán kính của \(\left( S \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính độ dài \(MA\), \(MB\) và \(MC\) theo \(x\), \(y\), \(z\), sau đó thay vào đẳng thức \(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\) và rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết

Ta có

\(M{A^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\), \(M{B^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2}\), \(M{C^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}\)

Do \(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\), nên

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} + {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}\)

\( \Rightarrow  - 2x + 1 = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {x^2} + 2x - 1 + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 0\)

\( \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2\).

Vậy điểm \(M\) thuộc mặt cầu có tâm \(I\left( { - 1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 2 .\)


Cùng chủ đề:

Giải bài tập 16 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 16 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 17 trang 29 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 17 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 18 trang 29 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 18 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 19 trang 29 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 20 trang 30 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 21 trang 30 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 22 trang 30 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 23 trang 30 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo