Giải bài tập 18 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho ba điểm $A\left( {1;0;0} \right)$, $B\left( {0;2;0} \right)$ và $C\left( {0;0;3} \right)$. Chứng minh rằng nếu điểm $M\left( {x,y,z} \right)$ thoả mãn $M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}$ thì $M$ thuộc một mặt cầu $\left( S \right)$. Tìm tâm và bán kính của $\left( S \right)$.

Lời giải chi tiết

Ta có

$M{A^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2}$, $M{B^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2}$, $M{C^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}$

Do $M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}$, nên

${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} + {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}$

$\Rightarrow  - 2x + 1 = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}$

$\Rightarrow {x^2} + 2x - 1 + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 0$

$\Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2$.

Vậy điểm $M$ thuộc mặt cầu có tâm $I\left( { - 1;2;3} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 2 .$