Giải bài tập 16 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Đề bài:

Phần mềm của máy tiện kĩ thuật số CNC (Computer Numerical Control) đang biểu diễn một chi tiết máy như hình dưới đây.

a) Tìm toạ độ các điểm $A$, $B$, $C$, $D$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$.

c) Viết phương trình tham số của đường thẳng $AC$.

d) Cho biết đầu mũi tiện đang đặt tại điểm $M\left( {0;60;40} \right)$. Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Dựa vào hình vẽ, ta có $A\left( {70;0;0} \right)$, $B\left( {70;0; - 60} \right)$, $C\left( {70;80;0} \right)$ và $D\left( {50;0;0} \right)$.

b) Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB}  = \left( {0;0; - 60} \right)$ và $\overrightarrow {AC}  = \left( {0;80;0} \right)$ nên một vectơ pháp tuyến của $\left( {ABC} \right)$ là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4800;0;0} \right)$. Ta suy ra $\vec i = \left( {1;0;0} \right) = \frac{1}{{4800}}\overrightarrow {{n_1}}$ cũng là một vectơ pháp tuyến của $\left( {ABC} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $1\left( {x - 70} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 0\left( {z - 0} \right) = 0$, hay $x - 70 = 0$.

Mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AC}  = \left( {0;80;0} \right)$ và $\overrightarrow {AD}  = \left( { - 20;0;0} \right)$ nên một vectơ pháp tuyến của $\left( {ACD} \right)$ là $\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {0;0;1600} \right)$. Ta suy ra $\vec k = \left( {0;0;1} \right) = \frac{1}{{1600}}\overrightarrow {{n_2}}$ cũng là một vectơ pháp tuyến của $\left( {ACD} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ là $0\left( {x - 70} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z - 0} \right) = 0$, hay $z = 0$.

c) Ta có $\overrightarrow {AC}  = \left( {0;80;0} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AC$. Ta suy ra vectơ $\vec j = \left( {0;1;0} \right) = \frac{1}{{80}}\overrightarrow {AC}$ cũng là một vectơ chỉ phương của $AC$

Vậy phương trình tham số của $AC$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 70 + 0t\\y = 0 + t\\z = 0 + 0t\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = 70\\y = t\\z = 0\end{array} \right.$.

d) Khoảng cách từ điểm $M$ đến $\left( {ABC} \right)$ là

$d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 0.60 + 0.40 - 70} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 70.$