Giải bài tập 15 trang 67 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x - y - 6 = 0$ và $\left( Q \right)$. Biết rằng điểm $H\left( {2; - 1; - 2} \right)$ là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ $O\left( {0;0;0} \right)$ xuống mặt phẳng $\left( Q \right)$. Tính góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt phẳng $\left( Q \right)$.

Lời giải chi tiết

Do $H\left( {2; - 1; - 2} \right)$ là hình chiếu của $O$ xuống mặt phẳng $\left( Q \right)$ nên $OH \bot \left( Q \right)$, suy ra $\overrightarrow {OH}  = \left( {2; - 1; - 2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( Q \right)$.

Ta có $\vec n = \left( {1; - 1;0} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.

Suy ra $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OH} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$

Vậy $\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = {45^o}$.