Giải bài tập 5.22 trang 103 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho góc xOy với đường phân giác Ot và điểm A trên cạnh Ox, điểm B trên cạnh Oy sao cho OA = OB. Đường thẳng qua A và vuông góc với Ox cắt Ot tại P. Chứng minh rằng OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (P; PA).
Đề bài
Cho góc xOy với đường phân giác Ot và điểm A trên cạnh Ox, điểm B trên cạnh Oy sao cho OA = OB. Đường thẳng qua A và vuông góc với Ox cắt Ot tại P. Chứng minh rằng OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (P; PA).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta có: OA là tiếp tuyến của đường tròn (P; PA) do OA ⊥ PA tại A.
Xét cặp tam giác OAP và tam giác OBP, từ đó suy ra PA = PB và OB ⊥ PB. Hay OB là tiếp tuyến của đường tròn (P; PA).
Lời giải chi tiết
Ta có: OA là tiếp tuyến của đường tròn (P; PA) do OA ⊥ PA tại A.
Xét tam giác OAP và tam giác OBP có:
OP chung
^AOP=^BOP (do OP là tia phân giác của góc ^AOB)
OA = OB
Vậy ΔOAP=ΔOBP (c.g.c)
Suy ra: PA = PB (hai cạnh tương ứng)
^OAP=^OBP=90∘ (hai góc tương ứng) hay OB ⊥ PB
Do đó OA là tiếp tuyến của đường tròn (P; PA)
Vậy OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O).