Giải bài tập 5 trang 110 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ đường kính $AB$ và các đường thẳng $m,n,p$ lần lượt tiếp xúc với đường tròn tại $A,B,C$ (Hình 43).

Chứng minh:

a) $AD + BE = DE$;

b) $\widehat {COD} = \frac{1}{2}\widehat {COA}$ và $\widehat {COE} = \frac{1}{2}\widehat {COB}$;

c) Tam giác $ODE$ vuông;

d) $\frac{{OD.OE}}{{DE}} = R$.

Lời giải chi tiết

a) Do $DC,DA$ cùng là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $DA = DC$.

Do $EC,EB$ cùng là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $CE = BE$.

Lại có: $DC + CE = DE$ suy ra $DA + EB = DE$.

b) Do $DC,DA$ cùng là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $OD$ là tia phân giác của góc $COA$.

Suy ra $\widehat {COD} = \frac{1}{2}\widehat {COA}$.

Do $EC,EB$ cùng là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $OE$ là tia phân giác của góc $COB$.

Suy ra $\widehat {COE} = \frac{1}{2}\widehat {COB}$.

c) Ta có: $\widehat {COA} + \widehat {COB} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\frac{1}{2}\left( {\widehat {COA} + \widehat {COB}} \right) = \frac{1}{2}.180^\circ  = 90^\circ  \Rightarrow \frac{1}{2}\widehat {COA} + \frac{1}{2}\widehat {COB} = 90^\circ .$

Mà $\widehat {COD} = \frac{1}{2}\widehat {COA}$,$\widehat {COE} = \frac{1}{2}\widehat {COB}$ nên $\widehat {COD} + \widehat {COE} = 90^\circ$  hay $\widehat {DOE} = 90^\circ$.

Vậy tam giác $ODE$ vuông tại $O$.

d) Vì $DE$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $DE \perp CO$

$\Rightarrow \widehat{DCO} = 90^\circ$

Xét $\Delta ODE$ và $\Delta CDO$ có:

$\widehat{DOE} = \widehat{DCO} = 90^\circ$

$\widehat{ODE}$ (góc chung)

$\Rightarrow \Delta ODE \backsim \Delta  CDO$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{OE}{OC} = \frac{DE}{OD}$

$\Rightarrow OE \cdot OD = DE \cdot OC$

$\Rightarrow OE \cdot OD = R$ (đpcm)