Giải bài tập 7 trang 79 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Tính góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + {t_1}\\y = 4 + \sqrt 3 {t_1}\\z = 0\end{array} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + \sqrt 3 {t_2}\\y = 4 + {t_2}\\z = 5\end{array} \right.$ (${t_1},{t_2}$ là tham số);

b) ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 3 + t\\z = 4 - t\end{array} \right.$ (t là tham số) và ${\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}$;

c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{1}$.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;\sqrt 3 ;0} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {\sqrt 3 ;1;0} \right)$.

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.\sqrt 3  + \sqrt 3 .1 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ nên $\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {30^o}$

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2;1; - 1} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {3;1; - 2} \right)$.

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.3 + 1.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt {21} }}{{14}}$ nên $\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \approx {11^o}$

c) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;1; - 1} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 1;3;1} \right)$.

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 3.1 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {33} }}{{33}}$ nên $\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \approx {80^o}$.