Giải mục 1 trang 16, 17 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\). Giả sử phương trình có nghiệm x1, x2, so sánh S = x1 + x2 và \( - \frac{b}{a}\), \(P = {x_1}{x_2}\) và \(\frac{c}{a}\).
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 16 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\). Giả sử phương trình có nghiệm x 1 , x 2 , so sánh S = x 1 + x 2 và \( - \frac{b}{a}\), \(P = {x_1}{x_2}\) và \(\frac{c}{a}\).
Phương pháp giải:
Dựa vào: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) và biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\).
Nếu \(\Delta \) > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}},{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có S = x 1 + x 2 = \(\frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} + \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = - \frac{b}{a}\)
\(P = {x_1}{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.\frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{c}{a}\) .
LT1
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 16 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Không giải phương trình, chứng minh phương trình \({x^2} + 3x - 6 = 0\) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và tính M = x 1 + x 2 - x 1 x 2 .
Phương pháp giải:
Dựa vào: Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) thì:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}}\\{P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình \({x^2} + 3x - 6 = 0\) có a = 1; b = 3, c = -6.
\(\Delta = {3^2} - 4.1.( - 6) = 33 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Viète, ta có \(S = {x_1} + {x_2} = - 3,P = {x_1}{x_2} = 3\).
Suy ra M = x 1 + x 2 - x 1 x 2 = - 3 – 3 = - 6.
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 17 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Cho phương trình \({x^2} - 2\sqrt 5 x + 3 = 0\)
a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 .
b) Tính \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}};{x_1}^2 + {x_2}^2.\)
Phương pháp giải:
Dựa vào: Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) thì:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}}\\{P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình \({x^2} - 2\sqrt 5 x + 3 = 0\) có a = 1; b = \( - 2\sqrt 5 \), c = 3.
\(\Delta = {( - 2\sqrt 5 )^2} - 4.1.3 = 8 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
b) Theo định lí Viète, ta có \(S = {x_1} + {x_2} = 2\sqrt 5 ,P = {x_1}{x_2} = 3\).
Suy ra \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}\).
Ta có \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2\)
Suy ra \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {(2\sqrt 5 )^2} - 2.3 = 14.\)
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 17 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Cho phương trình \(3{x^2} - 7x + 4 = 0\)
a) Xác định hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.
b) Chứng minh \({x_1} = 1\) là một nghiệm của phương trình.
c) Áp dụng định lí Viète để tìm nghiệm x 2 .
2. Cho phương trình \(2{x^2} + 5x + 3 = 0\)
a) Xác định hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.
b) Chứng minh \({x_1} = - 1\) là một nghiệm của phương trình.
c) Tìm nghiệm x 2 .
Phương pháp giải:
Xác định a, b, c sau đó thay x = 1 vào phương trình kiểm tra xem thỏa mãn không.
Dựa vào: Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) thì:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}}\\{P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.\)
Lời giải chi tiết:
1a) Phương trình có a = 3, b = - 7, c = 4
Suy ra a + b + c = 3 – 7 + 4 = 0.
1b) Thay x = 1 vào phương trình \(3{x^2} - 7x + 4 = 0\) ta được:
3. 1 2 – 7.1 + 4 = 0 (TM)
Vậy \({x_1} = 1\) là một nghiệm của phương trình.
1c) Theo định lí Viète ta có \(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = \frac{7}{3}\).
Mà \({x_1} = 1\) suy ra \({x_2} = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3}\).
2a) Phương trình có a = 2, b = 5, c = 3
Suy ra a - b + c = 2 – 5 + 3 = 0.
2b) Thay x = -1 vào phương trình \(2{x^2} + 5x + 3 = 0\) ta được:
2. (-1) 2 + 5.(-1) + 3 = 0 (TM)
Vậy \({x_1} = - 1\) là một nghiệm của phương trình.
2c) Theo định lí Viète ta có \(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{5}{2}\).
Mà \({x_1} = - 1\) suy ra \({x_2} = - \frac{5}{2} - 1 = - \frac{7}{2}\).
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 17 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) \( - 5{x^2} + 2x + 3 = 0\)
b) \(4{x^2} + 27x + 23 = 0\)
c) \(6,8{t^2} - 4,7x - 2,1 = 0\)
Phương pháp giải:
Dựa vào: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\).
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm \({x_1} = 1\) và \({x_2} = \frac{c}{a}\).
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = - \frac{c}{a}\).
Lời giải chi tiết:
a) \( - 5{x^2} + 2x + 3 = 0\)
Phương trình có a = - 5, b = 2, c = 3.
Vì a + b + c = - 5 + 2 + 3 = 0 nên phương trình có nghiệm \({x_1} = 1\) và \({x_2} = - \frac{3}{5}\).
b) \(4{x^2} + 27x + 23 = 0\)
Phương trình có a = 4, b = 27, c = 23.
Vì a - b + c = 4 - 27 + 23 = 0 nên phương trình có nghiệm \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = - \frac{{23}}{4}\).
c) \(6,8{t^2} - 4,7x - 2,1 = 0\)
Phương trình có a = - 5, b = 2, c = 3.
Vì a + b + c = 6,8 – 4,7 – 2,1 = 0 nên phương trình có nghiệm \({x_1} = 1\) và \({x_2} = \frac{{2,1}}{{6,8}} = \frac{{21}}{{68}}\).