Giải mục 1 trang 46, 47, 48, 49, 50, 51 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

HĐ Khởi động

Lời giải chi tiết:

+) Hình 1: $y = 2x + 3 \Rightarrow 2x - y + 3 = 0$

Vậy $a =  2,b = -1,c =  3$

+) Hình 2: $y =  - x + 1 \Rightarrow x + y  - 1 = 0$

Vậy $a = 1,b = 1,c =  - 1$

+) Hình 3: $y = 3 \Rightarrow y - 3 = 0$

Vậy $a = 0,b = 1,c =  - 3$

+ Hình 4: $x =  - 2 \Rightarrow x + 2 = 0$

Vậy $a = 1,b = 0,c = 2$

HĐ Khám phá 1

Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và vectơ $\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)$ và $\overrightarrow u  = \left( {b; - a} \right)$ khác vectơ 0. Cho biết $\overrightarrow u$ có giá song song hoặc trùng với $\Delta$.

a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow n \overrightarrow {.u}$ và nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow n ,\overrightarrow u$

b) Gọi $M\left( {x;y} \right)$ là điểm di động trên $\Delta$. Chứng tỏ rằng vectơ $\overrightarrow {{M_0}M}$ luôn cùng phương với vectơ $\overrightarrow u$ và luôn vuông góc với vectơ $\overrightarrow n$

Phương pháp giải:

a)       +) Áp dụng ứng dụng biểu thức tọa độ của vectơ tính tích vô hướng

+) Dựa vào kết quả tích vô hướng các định phương (bằng 0 thì vuông góc)

b)       +) Xác định tỉ lệ giũa các tọa độ của hai vectơ để so sánh về phương

+) Tính tích vô hướng để chứng minh vuông góc

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $\overrightarrow n .\overrightarrow u  = a.b + b.( - a) = 0$

Tích vô hướng bằng 0 nên hai vectơ $\overrightarrow n ,\overrightarrow u$có phương vuông góc với nhau

b) Vectơ $\overrightarrow {{M_0}M}$ có giá là đường thẳng $\Delta$

=> luôn cùng phương với vectơ $\overrightarrow u$

=> vectơ $\overrightarrow {{M_0}M}$ có phương vuông góc với vectơ $\overrightarrow n$

HĐ Khám phá 2

Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow u  = \left( {{u_1};{u_2}} \right)$ là vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm $M\left( {x;y} \right)$ thuộc $\Delta$, tìm tọa độ của điểm M theo tọa độ của ${M_0}$ và $\overrightarrow u$

Phương pháp giải:

M và ${M_0}$ thuộc $\Delta$ nên ${\overrightarrow {MM} _0}$ làm vectơ chỉ phương

Lời giải chi tiết:

${\overrightarrow {MM} _0} = \left( {{x_0} - x;{y_0} - y} \right)$ mà $\Delta$ nhận ${\overrightarrow {MM} _0}$làm vectơ chỉ phương nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - x = {u_1}\\{y_0} - y = {u_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} - {u_1}\\y = {y_0} - {u_2}\end{array} \right.$

Vậy $M\left( {{x_0} - {u_1};{y_0} - {u_2}} \right)$

Thực hành 1

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm $B( - 9;5)$ và nhận $\overrightarrow v  = (8; - 4)$ là vectơ chỉ phương

b) Tìm tọa độ điểm P trên $\Delta$,biết P có tung độ bằng 1.

Lời giải chi tiết:

a) Phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 9 + 8t\\y = 5 - 4t\end{array} \right.$

b) Thay $y = 1$ vào phương trình $y = 5 - 4t$ ta được $1 = 5 - 4t \Rightarrow t = 1$

Thay $t = 1$ vào phương trình $x =  - 9 + 8t$, ta được $x =  - 1$

Vậy $P( - 1;1)$

Vận dụng 1

Một trò chơi đua xe ô tô vượt da mặt trên máy tính là xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy . Cho biết một ô tô chuyển động thẳng đều từ điểm $M(1;1)$ với Vectơ vận tốc$\overrightarrow v  = (40;30)$

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn đường đi của ô tô

b) Tìm tọa độ của xe tương ứng với t = 2; t = 4

Lời giải chi tiết:

a) Phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 40t\\y = 1 + 30t\end{array} \right.$

b) Thay $t = 2$ vào phương trình$d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 40t\\y = 1 + 30t\end{array} \right.$  ta được $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 40.2 = 81\\y = 1 + 30.2 = 61\end{array} \right.$

Vậy khi $t = 2$ thì tọa độ của ô tô là $\left( {81;61} \right)$

Thay $t = 4$ vào phương trình$d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 40t\\y = 1 + 30t\end{array} \right.$  ta được $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 40.4 = 161\\y = 1 + 30.4 = 121\end{array} \right.$

Vậy khi $t = 4$ thì tọa độ của ô tô là $\left( {161;121} \right)$

HĐ Khám phá 3

Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)$ làm vectơ pháp tuyến. Với mỗi điểm $M\left( {x;y} \right)$ thuộc $\Delta$, chứng tỏ rằng điểm $M\left( {x;y} \right)$ có tọa độ thỏa mãn phương trình:

$ax + by + c = 0$ (với $c =  - a{x_0} - b{y_0}$)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tọa độ điểm M qua ${M_0}$ và a,b

Bước 2: Thay vào phương trình

Lời giải chi tiết:

$\Delta$ nhận vectơ $\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)$ làm vectơ pháp tuyến, suy ra vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow u  = (b; - a)$

M và ${M_0}$ thuộc đường thẳng $\Delta$ nên $\Delta$ nhận ${\overrightarrow {MM} _0}$làm vectơ chỉ phương

${\overrightarrow {MM} _0} = \left( {{x_0} - x;{y_0} - y} \right)$, suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - x = b\\{y_0} - y =  - a\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} - b\\y = {y_0} + a\end{array} \right.$

Suy ra $M\left( {{x_0} - {u_1};{y_0} - {u_2}} \right)$

Thay tọa độ điểm M vào phương trình $ax + by + c = 0$ ta có:

$a\left( {{x_0} - b} \right) + b\left( {{y_0} + a} \right) + c = \left( { - ab + ba} \right) + \left( {a{x_0} + b{y_0} + c} \right) = 0$      (đúng vì $- a{x_0} - b{y_0} = c$)

Vậy $M(x;y)$ thỏa mãn phương trình đã cho

Thực hành 2

Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ trong các trường hợp sau:

a) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;1)$và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {3;5} \right)$

b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2; - 7} \right)$

c) Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $M(4;0),N(0;3)$

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {3;5} \right)$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {5; - 3} \right)$, nên ta có phương trình tham số của $\Delta$ là :

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 5t\\y = 1 - 3t\end{array} \right.$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;1)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {3;5} \right)$

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

$3(x - 1) + 5(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + 5y - 8 = 0$

b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2; - 7} \right)$, nên có phương trình tham số là:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y =  - 7t\end{array} \right.$

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2; - 7} \right)$,nên có vectơ pháp tuyền là $\overrightarrow n  = \left( {7;2} \right)$ và đi qua $O(0;0)$

Ta có phương trình tổng quát là

$7(x - 0) + 2(y - 0) = 0 \Leftrightarrow 7x + 2y = 0$

c) Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $M(4;0),N(0;3)$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \overrightarrow {MN}  = ( - 4;3)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = (3;4)$

Phương trình tham số của $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 4t\\y = 3t\end{array} \right.$

Phương trình tổng quát của $\Delta$ là: $3(x - 4) + 4(x - 0) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 12 = 0$

Vận dụng 2

Một người đã lập trình một trò chơi trên máy tính. Trên màn hình máy tính đã xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy . Người đó viết lệnh để một điểm $M(x;y)$ từ vị trí $A(1;2)$ chuyển động thẳng đều với Vectơ vận tốc $\overrightarrow v  = (3; - 4)$

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ biểu diễn đường đi của điểm M

b) Tìm tọa độ của điểm M khi $\Delta$ cắt trục hoành

Phương pháp giải:

a) Từ vectơ chỉ phương tìm vectơ pháp tuyến và viết phương trình tổng quát

VTCP (a;b) => VTPT: (-b; a) hoặc (b; -a)

b) M thuộc trục hoành thì M có tọa độ (m; 0)

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow v  = \left( {3; - 4} \right)$,nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \left( {4;3} \right)$ và đi qua $A(1;2)$

Ta có phương trình tổng quát là

$4(x - 1) + 3(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 10 = 0$

b) Điểm M thuộc trục hoành nên tung độ bằng 0

Thay $y = 0$ vào phương trình $4x + 3y - 10 = 0$ ta tìm được $x = \frac{5}{2}$

Vậy $\Delta$ cắt trục hoành tại điểm $M\left( {\frac{5}{2};0} \right)$

Thực hành 3

Tìm các hàm số bậc nhất có đồ thị là các đường thẳng trong thực hành 2

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $3x + 5y - 8 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{8}{5} - \frac{3}{5}x$

Vậy hàm số bậc ứng với đường thẳng $3x + 5y - 8 = 0$ là $y = \frac{8}{5} - \frac{3}{5}x$

b) Ta có $7x + 2y = 0 \Leftrightarrow y =  - \frac{7}{2}x$

Vậy hàm số bậc ứng với đường thẳng $7x + 2y = 0$ là $y =  - \frac{7}{2}x$

c) Ta có $3x + 4y - 12 = 0 \Leftrightarrow y = 3 - \frac{3}{4}x$

Vậy hàm số bậc ứng với đường thẳng $3x + 4y - 12 = 0$ là $y = 3 - \frac{3}{4}x$

Vận dụng 3

Một người bắt đầu mở một vòi nước. Nước từ vòi chảy với vận tốc là 2 ${m^3}/h$ vào một cái bể đã chứa sẵn 5 ${m^3}$ nước.

a) Viết biểu thức tính thể tích y của nước có trong bể sau x giờ

b) Gọi $y = f(x)$là hàm số xác định được từ câu a). Vẽ đồ thị d của hàm số này

c) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d

Lời giải chi tiết:

a) Thể tích nước trong bể được tính bằng công thức $y = 5 + 2x$

b)

c) Ta có đồ thị hàm số bậc nhất $y = 5 + 2x \Leftrightarrow 2x - y + 5 = 0$

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là $2x - y + 5 = 0$

Từ phương trình tổng quát ta có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)$, từ đó ta có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = (1;2)$

Khi $x = 0$ thì $y = 5$ nên đường thẳng đó đi qua điểm $(0;5)$

Ta có phương trình tham số của đường thẳng d là $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 5 + 2t\end{array} \right.$