Giải mục 1 trang 65, 66, 67 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 880 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc 70 (Hình 5).

HĐ Khởi động

Phương pháp giải:

Với $\widehat A = {90^o}$ ta sử dụng định lí Pytago.

Với $\widehat A \ne {90^o}$ : Áp dụng định lí cosin: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí Pytago, ta có:

$\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\ \Rightarrow BC = 5\end{array}$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNP, ta có:

$N{P^2} = M{N^2} + M{P^2} - 2.MN.MP\cos M$

Mà $MN = 4,MP = 3,\widehat M = {60^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow N{P^2} = {4^2} + {3^2} - 2.4.3\cos {60^o} = 13\\ \Leftrightarrow NP = \sqrt {13} \approx 3,6\end{array}$

HĐ Khám phá 1

a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và $\widehat C \ge \widehat B.$ Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.

Hãy thay ? bằng các chữ cáu thích hợp để chứng minh công thức ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$ theo gợi ý sau:

Xét tam giác vuông BCD, ta có: ${a^2} = {d^2} + {(c - x)^2} = {d^2} + {x^2} + {c^2} - 2xc$ (1)

Xét tam giác vuông ACD, ta có: ${b^2} = {d^2} + {x^2} \Rightarrow {d^2} = {b^2} - {x^2}$ (2)

$\cos A = \frac{?}{b} \Rightarrow ? = b\cos A.$ (3)

Thay (2) và (3) vào (1), ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$

Lưu ý : Nếu $\widehat B > \widehat C$ thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.

b) Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$

Lưu ý : Vì A là góc tù nên $\cos A = - \frac{x}{b}.$

c) Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ coogn thức ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$ có thể viết là ${a^2} = {b^2} + {c^2}.$

Lời giải chi tiết:

a) ? = x vì $\cos A = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{x}{b} \Rightarrow ? = x.$

b) Xét tam giác vuông BCD, ta có: ${a^2} = {d^2} + {(c + x)^2} = {d^2} + {x^2} + {c^2} + 2xc$ (1)

Xét tam giác vuông ACD, ta có: ${b^2} = {d^2} + {x^2} \Rightarrow {d^2} = {b^2} - {x^2}$ (2)

$\cos A = - \cos \widehat {DAC} = - \frac{x}{b} \Rightarrow x = - b\cos A.$ (3)

Thay (2) và (3) vào (1), ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$

c) Ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$

Mà $\widehat A = {90^o} \Rightarrow \cos A = \cos {90^o} = 0.$

$\Rightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2}$

Thực hành 1

Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong hình 4.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB\cos A\\\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}};\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}}\end{array}$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB\cos A$

Mà $AB = 14,AC = 18,\widehat A = {62^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B{C^2} = {18^2} + {14^2} - 2.18.14\cos {62^o} \approx 283,3863\\ \Leftrightarrow BC \approx 16,834\end{array}$

Lại có: Từ định lí cosin ta suy ra:

$\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}};\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos B = \frac{{{{14}^2} + 16,{{834}^2} - {{18}^2}}}{{2.14.16,834}} \approx 0,3297\\\cos C = \frac{{{{18}^2} + 16,{{834}^2} - {{14}^2}}}{{2.18.16,834}} \approx 0,6788\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat B \approx {70^o}45'\\\widehat C \approx {47^o}15'\end{array} \right.$

Vậy $BC \approx 16,834;\widehat B \approx {70^o}45';\widehat C \approx {47^o}15'.$

Vận dụng 1

Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc ${70^o}$ (Hình 5).