Giải mục 1 trang 59, 60, 61, 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Hoạt động 1

Cho dãy số (${u_n}$) được xác định bởi ${u_n} = \frac{1}{n}$

a, Tính giá trị của ${u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_{10}}$và biểu diễn chúng trên trục số thực dưới đây:

b, Khi n tăng thì khoảng cách giữa ${u_n}$ và 0 thay đổi thế nào ? Điều đó thể hiện thế nào trên trục số.

c, Bắt đầu từ số hạng thứ mấy thì khoảng cách từ ${u_n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,01? Câu hỏi tương tự với 0,001; 0,00001.

Phương pháp giải:

a, Lần lượt thay giá trị n=1, n= 2, n=3, n=4, n= 10 vào công thức ${u_n} = \frac{1}{n}$ để được các giá trị tương ứng ${u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_{10}}$.

b, Khoảng cách giữa ${u_n}$ và 0 là giá trị của ${u_n}$.

Khi n tăng thì giá trị $\frac{1}{n}$ càng nhỏ, khoảng cách giữa ${u_n}$ và 0 càng gần nhau hơn.

Trên trục số, các giá trị n càng lớn thì khoảng cách giữa ${u_n}$ và 0 càng nhỏ.

c, 0,01=$\frac{1}{{100}}$= ${u_{100}}$. Với các giá trị n > 100 thì khoảng cách ${u_n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: ${u_1} = \frac{1}{1} = 1$, ${u_2} = \frac{1}{2}$, ${u_3} = \frac{1}{3}$, ${u_4} = \frac{1}{4}$, ${u_{10}} = \frac{1}{{10}}$.

Biểu diễn trên trục số:

b, Khi n tăng thì $\frac{1}{n}$ càng nhỏ do đó, khoảng cách giữa ${u_n}$ và 0 càng nhỏ khi n tăng.

c, Ta có : 0,01=$\frac{1}{{100}}$= ${u_{100}}$. Với các giá trị n > 100 thì khoảng cách ${u_n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,01.  Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 thì khoảng cách ${u_n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Tương tự:

0,001= $\frac{1}{{1000}}$=${u_{1000}}$

Vậy bắt đầu từ số hạng 1001 thì khoảng cách ${u_n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,001.

0,00001=$\frac{1}{{100000}} = {u_{100000}}$.

Vậy bắt đầu từ số hạng 100001 thì khoảng cách ${u_n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,00001.

Luyện tập 1

Cho dãy số (${u_n}$) với ${u_n} = {(\frac{1}{2})^n}$

a, Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

b, Khi giá trị n càng lớn thì khoảng cách giữa ${u_n}$ và 0 thay đổi thế nào?

Phương pháp giải:

a, Thay các giá trị n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5 vào công thức ${u_n} = {(\frac{1}{2})^n}$ để được năm số hạng đầu tiên của dãy.

${u_1} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} = \frac{1}{2}$; ${u_2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}$; ${u_3} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}$; ${u_4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{1}{{16}}$; ${u_5} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{1}{{32}}$

b, Khi n càng tăng thì giá trị ${u_n}$ càng nhỏ. Do đó, khoảng cách ${u_n}$ và 0 càng nhỏ.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có :

${u_1} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} = \frac{1}{2}$; ${u_2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}$; ${u_3} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}$; ${u_4} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{1}{{16}}$; ${u_5} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{1}{{32}}$

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là: $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}};\frac{1}{{32}}$.

b, Khi n càng tăng thì khoảng cách ${u_n}$ và 0 càng nhỏ.

Hoạt động 2

Cho dãy số (${u_n}$) với ${u_n}$=$\frac{{3n + 1}}{n}$. Xét dãy số (${v_n}$) với ${v_n} = {u_n} - 3$. Viết công thức tính số hạng tổng quát ${v_n}$và $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n}$.

Phương pháp giải:

Thay ${u_n}$=$\frac{{3n + 1}}{n}$ vào công thức ${v_n} = {u_n} - 3$ để được số hạng tổng quát của ${v_n}$.

Sử dụng phần lưu ý mục 1 là $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{n} = 0$ để tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${v_n} = {u_n} - 3$= $\frac{{3n + 1}}{n} - 3 = \frac{{3n + 1 - 3n}}{n} = \frac{1}{n}$.

Khi đó, $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n}$=$\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{n} = 0$.

Luyện tập 2

Chứng minh rằng: $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} =  - 4$.

Phương pháp giải:

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {\frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} - ( - 4)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^2}}} = 0$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {\frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} - ( - 4)} \right]$

=$\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} + 4} \right)$

=$\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{1 - 4{n^2} + 4{n^2}}}{{{n^2}}})$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^2}}} = 0$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{1 - 4{n^2}}}{{{n^2}}} =  - 4$.

Hoạt động 3

a, Chứng minh rằng $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} = 6$

b, So sánh $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}}$ và $(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})$.

Phương pháp giải:

a, Tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} - 6) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}} = 0$.

b, Tính $(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})$ và sử dụng kết quả câu a để so sánh.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} - 6)$

= $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\frac{{6{n^3} + 1 - 6{n^3}}}{{{n^3}}}} \right)$

= $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}} = 0$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}} = 6$.

b, Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } 6 = 6$ và $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}} = 0$

Do đó: $(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})$= 6

Vậy: $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{6{n^3} + 1}}{{{n^3}}}$ = $(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } 6 + \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^3}}})$.

Luyện tập 3

Tìm $\lim \frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}}$ và $\lim \frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}$

Phương pháp giải:

Tính $\lim \frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}}$  chia cả tử và mẫu cho ${n^3}$

Tính $\lim \frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}$  chia cả tử và mẫu cho ${6^n}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}} = \frac{{6.\frac{1}{{{n^3}}} - 7.\frac{1}{n}}}{{2 + 9.\frac{1}{{{n^3}}}}}$

Vì lim 6=6, lim 7=7, lim 2= 2, lim 9=9, $\lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0$, $\lim \frac{1}{n} = 0$ nên:

$\lim (6.\frac{1}{{{n^3}}} - 7.\frac{1}{n}) = 6.0 + 7.0 = 0$ và $\lim (2 + 9.\frac{1}{{{n^3}}}) = 2 + 9.0 = 2$

Vậy $\lim \frac{{6 - 7{n^2}}}{{2{n^3} + 9}}$ $= 0$.

Ta có: $\frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}$ = $\frac{{{{(\frac{5}{6})}^n} + 2}}{{1 + {{(\frac{4}{6})}^n}}} = \frac{{{{(\frac{5}{6})}^n} + 2}}{{1 + {{(\frac{2}{3})}^n}}}$

Vì $\lim {(\frac{5}{6})^n} = 0$; $\lim {(\frac{2}{3})^n} = 0$; $\lim 2 = 2$; $\lim 1 = 1$ nên :

$\lim \left[ {{{(\frac{5}{6})}^n} + 2} \right] = 2$và $\lim \left[ {1 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}} \right] = 1$

Vậy $\lim \frac{{{5^n} + {{2.6}^n}}}{{{6^n} + {4^n}}}$= 2.

Hoạt động 4

1.Chứng minh rằng dãy số (${u_n}$) và (${v_n}$) với công thức tính số hạng tổng quát lần lượt là ${u_n} = {(\frac{1}{2})^n}$ và ${v_n} = 2.{(\frac{{ - 2}}{3})^n}$ là cấp số nhân mà công bội của chúng có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1.

2.Cho cấp số nhân (${u_n}$) có công bội q. ( $\left| q \right| < 1$)

a, Viết công thức tính tổng ${S_n}$ của n số hạng đầu tiên  của (${u_n}$) theo ${u_1}$ và q.

b, Nếu quy ước S=${u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \lim {S_n}$, hãy tính S theo ${u_1}$ và q.

Phương pháp giải:

1.Tìm công bội q của dãy số (${u_n}$) và (${v_n}$) để chứng minh là cấp số nhân

2. a, Viết công thức tính ${S_n}$ của cấp số nhân ${S_n} = \frac{{{u_{1.}}.(1 - {q^n})}}{{1 - q}}$

b, Dựa vào lim${q^n} = 0$, tính lim ${S_n}$.

Lời giải chi tiết:

1. Chứng minh dãy số ( ${u_n}$ ) là cấp số nhân

Ta có: ${u_{n + 1}} = {(\frac{1}{2})^{n + 1}}$ ; ${u_n} = {(\frac{1}{2})^n}$

$\Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}}}{{{{(\frac{1}{2})}^n}}} = \frac{1}{2}$

Vậy dãy số (${u_n}$) là cấp số nhân với công bội q=$\frac{1}{2}$.

Chứng minh dãy số ( ${v_n}$ ) là cấp số nhân

Ta có: ${v_{n + 1}} = 2.{(\frac{{ - 2}}{3})^{n + 1}}$; ${v_n} = 2.{(\frac{{ - 2}}{3})^n}$

$\Rightarrow \frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{2.{{(\frac{{ - 2}}{3})}^{n + 1}}}}{{2.{{(\frac{{ - 2}}{3})}^n}}} = \frac{{ - 2}}{3}$

Vậy dãy số (${v_n}$) là cấp số nhân với công bội $q = \frac{{ - 2}}{3}$.

2. a, Tổng ${S_n}$ của n số hạng đầu tiên  của (${u_n}$) theo ${u_1}$ và q là: ${S_n} = \frac{{{u_{1.}}.(1 - {q^n})}}{{1 - q}}$

b, S=${u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \lim {S_n}$= $\lim \frac{{{u_1}.(1 - {q^n})}}{{1 - q}}$

Ta có lim ${q^n} = 0$( với $\left| q \right| < 1$) $\Rightarrow \lim (1 - {q^n}) = 1$, lim ${u_1} = {u_1}$, lim (1-q)=1-q

lim${S_n} =$$\frac{{1.{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$.

Luyện tập 4

Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn S= $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} + ...$

Phương pháp giải:

S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với công bội $q = \frac{1}{2}$ và ${u_1} = 1$ .Áp dụng công thức S=$\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$ để tính tổng.

Lời giải chi tiết:

Ta có S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với công bội $q = \frac{1}{2}$ và ${u_1} = 1$.

S=$\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$=$\frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2$.