Giải mục 1 trang 55, 56 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Hoạt động 1

Quan sát hình ảnh cây cột và nền nhà (Hình 8.6). Xem nền nhà là hình ảnh của mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$. Ta có cạnh $OO'$ của cây cột tượng trưng cho một đường thẳng với $O$ tượng trưng cho một điểm thuộc $\left( \alpha  \right)$

a) Vẽ một đường thẳng $a$ nằm trong $\left( \alpha  \right)$ và $a$ không đi qua $O$. Vẽ đường thẳng $a'$ qua $O$ và song song với $a$. Dùng ê ke kiểm tra $OO'$ có vuông góc với đường thẳng $a'$ hay không? Từ đó hãy tính góc giữa $OO'$ và $a$.

b) Gọi $d$ là đường thẳng bất kì nằm trong $\left( \alpha  \right)$. Hỏi $OO'$ có vuông góc với $d$ không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Để dùng eke kiểm tra vuông góc ta đặt cạnh của eke trùng với $OO'$, nếu cạnh eke còn lại trùng với đường thẳng $a$ thì $OO'$ vuông góc với $a$

Lời giải chi tiết:

a) $OO'$ có vuông góc với đường thẳng $a$. Góc giữa $OO'$ và đường thẳng $a$ bằng ${90^o}$

b) $OO'$ vuông góc với $d$ vì $OO'$ vuông góc với $\left( \alpha  \right)$

Luyện tập 1

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

a) Chứng minh rằng $BC$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$

b) Biết $AH$ là đường cao của tam giác $SAB$. Chứng minh $AH$ vuông góc với $SC$

Phương pháp giải:

a) Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Chứng minh $BC$ vuông góc với $SA$ và $AB$

b) Chứng minh $AH$ vuông góc với $BC$ và $SB$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $BC \bot AB$ vì $\Delta ABC$ vuông tại $B$

Ta có $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\\SA \cap AB = \left\{ A \right\}\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$

b) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot \left( {SAB} \right)\\AH \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AH$

Vì $AH$ là đường cao của tam giác $SAB$ $\Rightarrow AH \bot SB$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)$