Giải mục 1 trang 65, 66, 67 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Cho dãy số (left( {{x_n}} right)) với ({x_n} = 1 + frac{1}{n}). Xét hàm số (f(x) = {x^2} - 2x)
Hoạt động 1
Cho dãy số (xn) với xn=1+1n. Xét hàm số f(x)=x2−2x
a, Tính f(xn) theo n.
b, Tìm limxn và limf(xn).
Phương pháp giải:
a, Thay giá trị của xn vào f(x).
b, Áp dụng giới hạn của dãy số để tính limxn và limf(xn).
Lời giải chi tiết:
a, Thay xn=1+1n vào hàm số f(x)=x2−2x ta được:
f(xn)=(1+1n)2−2.(1+1n)=1+2n+1n2−2−2n=−1+1n2
b, Vì lim1=1, lim1n=0, lim1n2=0 nên:
limxn=lim(1+1n)=1 và limf(xn)=lim(−1+1n2)=−1.
Luyện tập 1
Cho hàm số f(x)=x2−3x+2x−2. Tìm limx→2f(x).
Phương pháp giải:
Chia tử cho mẫu và xác định giới hạn theo biểu thức đã chia.
Lời giải chi tiết:
f(x) xác định trên R\{2}
Với mọi dãy (xn) mà xn≠2, và limxn=2, ta có:
limf(xn)=limx2n−3xn+2xn−2=lim(xn−1).(xn−2)xn−2=lim(xn−1)=1
Vậy limx→2f(x)=1.
Hoạt động 2
a, Chứng minh rằng limx→2x2=4 và limx→2(x+1)=3.
b, Tìm limx→2(x2+x+1) và limx→2x2(x+1).
Phương pháp giải:
a, Xác định giới hạn của hàm số dựa vào giới hạn của dãy số limxn→2
b, Áp dụng câu a để tính giới hạn ở câu b.
Lời giải chi tiết:
a, f(x) xác định trên R.
Với mọi dãy (xn) mà xn≠2, và limxn=2, ta có:
limx→2x2=lim(xn)2=22=4 và limx→2(x+1)=lim(xn+1)=2+1=3.
b, Ta có : limx→2(x2+x+1)=limx→2x2+limx→2(x+1)=4+3=7
limx→2x2(x+1)=limx→2x2.limx→2(x+1)=4.3=12.
Luyện tập 2
Tìm limx→−1x3+x2+x+1x+1 và limx→−6x2+√2−x(2+x)2.
Phương pháp giải:
Với limx→−1x3+x2+x+1x+1 ta rút gọn hàm số và xác định giới hạn.
Với limx→−6x2+√2−x(2+x)2 tính limx→−6(x2+√2−x) và \mathop {\lim }\limits_{x \to - 6} {(2 + x)^2} và áp dụng \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{A}{B},B \ne 0
Lời giải chi tiết:
a, Hàm số \frac{{{x^3} + {x^2} + x + 1}}{{x + 1}} xác định trên R\{-1}
Với x \ne - 1 ta có:
\frac{{{x^3} + {x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = \frac{{({x^3} + {x^2}) + (x + 1)}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2}(x + 1) + (x + 1)}}{{x + 1}}= \frac{{({x^2} + 1).(x + 1)}}{{x + 1}} = {x^2} + 1
Vậy \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + {x^2} + x + 1}}{{x + 1}}=\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} + 1} \right) = {( - 1)^2} + 1 = 2
b, Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to - 6} \left( {{x^2} + \sqrt {2 - x} } \right) = {( - 6)^2} + \sqrt {2 - ( - 6)} = 36 + \sqrt 8 = 36 + 2\sqrt 2
\mathop {\lim }\limits_{x \to - 6} {(2 + x)^2} = {(2 - 6)^2} = 16
Vậy \mathop {\lim }\limits_{x \to - 6} \frac{{{x^2} + \sqrt {2 - x} }}{{{{(2 + x)}^2}}} = \frac{{36 + 2\sqrt 2 }}{{16}} = \frac{{18 + \sqrt 2 }}{8}.
Hoạt động 3
Cho hàm số f(x) = \frac{1}{{{x^2}}} và dãy số ({x_n}) mà \lim ({x_n}) = 0. Tính \lim f({x_n}).
Phương pháp giải:
Tính lim 1 và \lim {({x_n})^2} sau đó tính \lim f({x_n}).
Lời giải chi tiết:
Với mọi dãy ({x_n}) mà \lim ({x_n}) = 0 ta có \lim {({x_n})^2}= 0 và lim 1=1
Vậy \lim f(x) = \lim \frac{1}{{x_n^2}} = + \infty .
Luyện tập 3
Tìm \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{2 - \sqrt {{x^2} + 4} }}.
Phương pháp giải:
Tìm \lim (2 - \sqrt {4 + x_n^2} ) để xác định \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{2 - \sqrt {{x^2} + 4} }}.
Lời giải chi tiết:
Với mọi dãy ({x_n}) mà \lim ({x_n}) = 0, ta có 2 - \sqrt {4 + x_n^2} > 0 vì ({x_n} \ne 0) và \lim (2 - \sqrt {4 + x_n^2} )=0
Vì lim 1=1 nên \lim \frac{2}{{2 - \sqrt {{x_n}^2 + 4} }} = + \infty .
Vậy \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{2 - \sqrt {{x^2} + 4} }} = + \infty .