Giải mục 1 trang 65, 66, 67 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Hoạt động 1

Cho dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ với ${x_n} = 1 + \frac{1}{n}$. Xét hàm số $f(x) = {x^2} - 2x$

a, Tính $f({x_n})$ theo n.

b, Tìm $\lim {x_n}$ và $\lim f\left( {{x_n}} \right)$.

Phương pháp giải:

a, Thay giá trị của ${x_n}$ vào f(x).

b, Áp dụng giới hạn của dãy số để tính $\lim {x_n}$ và $\lim f\left( {{x_n}} \right)$.

Lời giải chi tiết:

a, Thay ${x_n} = 1 + \frac{1}{n}$ vào hàm số $f(x) = {x^2} - 2x$ ta được:

$f({x_n}) = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^2} - 2.(1 + \frac{1}{n}) = 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}} - 2 - \frac{2}{n} =  - 1 + \frac{1}{{{n^2}}}$

b, Vì lim1=1, $\lim \frac{1}{n} = 0$, $\lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0$ nên:

${\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = \lim (1 + \frac{1}{n}) = 1$ và $\lim f({x_n}) = \lim ( - 1 + \frac{1}{{{n^2}}}) =  - 1$.

Luyện tập 1

Cho hàm số $f(x) = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}$. Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)$.

Phương pháp giải:

Chia tử cho mẫu và xác định giới hạn theo biểu thức đã chia.

Lời giải chi tiết:

f(x) xác định trên R\{2}

Với mọi dãy $\left( {{x_n}} \right)$ mà ${x_n} \ne 2$, và ${\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = 2$, ta có:

$\lim f({x_n}) = \lim \frac{{x_n^2 - 3{x_n} + 2}}{{{x_n} - 2}} = \lim \frac{{({x_n} - 1).({x_n} - 2)}}{{{x_n} - 2}}$=$\lim ({x_n} - 1) = 1$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 1$.

Hoạt động 2

a, Chứng minh rằng $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} = 4$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 1) = 3$.

b, Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^2} + x + 1)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2}(x + 1)$.

Phương pháp giải:

a, Xác định giới hạn của hàm số dựa vào giới hạn của dãy số $\mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to 2}$

b, Áp dụng câu a để tính giới hạn ở câu b.

Lời giải chi tiết:

a, f(x) xác định trên R.

Với mọi dãy $\left( {{x_n}} \right)$ mà ${x_n} \ne 2$, và ${\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = 2$, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} = \lim {({x_n})^2} = {2^2} = 4$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 1) = {\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im (}}{{\rm{x}}_n} + 1) = 2 + 1 = 3$.

b, Ta có : $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^2} + x + 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 1) = 4 + 3 = 7$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2}(x + 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 1) = 4.3 = 12$.

Luyện tập 2

Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^3} + {x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 6} \frac{{{x^2} + \sqrt {2 - x} }}{{{{(2 + x)}^2}}}$.

Phương pháp giải:

Với $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^3} + {x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$ ta rút gọn hàm số và xác định giới hạn.

Với $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 6} \frac{{{x^2} + \sqrt {2 - x} }}{{{{(2 + x)}^2}}}$ tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 6} \left( {{x^2} + \sqrt {2 - x} } \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 6} {(2 + x)^2}$ và áp dụng $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{A}{B},B \ne 0$

Lời giải chi tiết:

a, Hàm số $\frac{{{x^3} + {x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$ xác định trên R\{-1}

Với $x \ne  - 1$ ta có:

$\frac{{{x^3} + {x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = \frac{{({x^3} + {x^2}) + (x + 1)}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2}(x + 1) + (x + 1)}}{{x + 1}}$= $\frac{{({x^2} + 1).(x + 1)}}{{x + 1}} = {x^2} + 1$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^3} + {x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$=$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( {{x^2} + 1} \right) = {( - 1)^2} + 1 = 2$

b, Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 6} \left( {{x^2} + \sqrt {2 - x} } \right) = {( - 6)^2} + \sqrt {2 - ( - 6)}  = 36 + \sqrt 8  = 36 + 2\sqrt 2$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 6} {(2 + x)^2} = {(2 - 6)^2} = 16$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 6} \frac{{{x^2} + \sqrt {2 - x} }}{{{{(2 + x)}^2}}} = \frac{{36 + 2\sqrt 2 }}{{16}} = \frac{{18 + \sqrt 2 }}{8}$.

Hoạt động 3

Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{{{x^2}}}$ và dãy số $({x_n})$ mà $\lim ({x_n}) = 0$. Tính $\lim f({x_n})$.

Phương pháp giải:

Tính lim 1 và $\lim {({x_n})^2}$ sau đó tính $\lim f({x_n})$.

Lời giải chi tiết:

Với mọi dãy $({x_n})$ mà $\lim ({x_n}) = 0$ ta có $\lim {({x_n})^2}$= 0 và lim 1=1

Vậy $\lim f(x) = \lim \frac{1}{{x_n^2}} =  + \infty$.

Luyện tập 3

Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{2 - \sqrt {{x^2} + 4} }}$.

Phương pháp giải:

Tìm $\lim (2 - \sqrt {4 + x_n^2} )$ để xác định $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{2 - \sqrt {{x^2} + 4} }}$.

Lời giải chi tiết:

Với mọi dãy $({x_n})$ mà $\lim ({x_n}) = 0$, ta có $2 - \sqrt {4 + x_n^2}  > 0$ vì (${x_n} \ne 0$) và $\lim (2 - \sqrt {4 + x_n^2} )$=0

Vì lim 1=1 nên $\lim \frac{2}{{2 - \sqrt {{x_n}^2 + 4} }} =  + \infty$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{2 - \sqrt {{x^2} + 4} }} =  + \infty$.