Giải mục 2 trang 83, 84 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Hoạt động 3

Các hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2$ và $g\left( x \right) = \sin x$ xác định trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ có đồ thị như sau:

Dựa vào đồ thị, hãy dự đoán tính liên tục của các hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$.

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là đường liền trên khoảng đó

Lời giải chi tiết:

Quan sát đồ thị hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ ta thấy chúng là một đường nét liền trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ nên hai hàm số đó liên tục trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$

Luyện tập 3

Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^3} + x - 2}}{{x - 1}}\,\,\,khi\,\,x \ne 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.$ trên $\mathbb{R}$

Phương pháp giải:

Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc $\mathbb{R}$

Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right)$ tại điểm $x = 1$

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$

+ Trên tập $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$, hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^3} + x - 2}}{{x - 1}}$ là phân thức hữu tỉ xác định trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$ nên liên tục trên các khoảng này.

+ Khi $x = 1$, ta có $f\left( 1 \right) = 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} + x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + x + 2} \right) = {1^2} + 1 + 2 = 4 \ne f\left( 1 \right)$

Vậy hàm số $f\left( x \right)$ không liên tục tại $x = 1$

Suy ra hàm số đã cho gián đoạn tại $x = 1$ hay hàm số $f\left( x \right)$ không liên tục trên $\mathbb{R}$

Hoạt động 4

Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ và $g\left( x \right) = \frac{1}{x}$.

a) Xét tính liên tục của $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ tại ${x_0} = 1$.

b) Xét tính liên tục của hàm số $y = f\left( x \right) + g\left( x \right)$ tại ${x_0} = 1$.

Phương pháp giải:

Hàm số liên tại tại điểm $x = {x_0}$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

Tính $f\left( {{x_0}} \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$ rồi so sánh chúng

Tương tự với hàm $y = g\left( x \right)$ và $y = f\left( x \right) + g\left( x \right)$

Lời giải chi tiết:

a)

+ Hàm số $y = f\left( x \right) = {x^2}$ có TXĐ là $\mathbb{R}$

Với ${x_0} = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = {1^2} = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^2} = {1^2} = 1 = f\left( 1 \right)$. Suy ra, hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0} = 1$

+ Hàm số $y = g\left( x \right) = \frac{1}{x}$ có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

Với ${x_0} = 1 \Rightarrow g\left( 1 \right) = \frac{1}{1} = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1 = f\left( 1 \right)$. Suy ra, hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0} = 1$

b) Với ${x_0} = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = {1^2} + \frac{1}{1} = 2$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + \frac{1}{x}} \right) = {1^2} + \frac{1}{1} = 2 = f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right)$.

Suy ra, hàm số $y = f\left( x \right) + g\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0} = 1$

Luyện tập 4

Tìm các khoảng trên đó hàm số sau đây là liên tục: $y = x + \tan x$

Phương pháp giải:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ là các hàm số liên tục trên khoảng K thì hàm số $y = f\left( x \right) \pm g\left( x \right)$ cũng liên tục trên khoảng K

Hàm số $y = \tan x,y = \cot x$ liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Tìm tập xác định của hàm số

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số $f\left( x \right) = x$ và $g\left( x \right) = \tan x$

+ Hàm số $f\left( x \right) = x$ là hàm đa thức nên $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$

+ Hàm số $g\left( x \right) = \tan x$ có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$ nên hàm số $g\left( x \right)$ liên tục trên các khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)$

Do đó, hàm số $y = f\left( x \right) + g\left( x \right) = x + \tan x$ liên tục trên các khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vận dụng

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\,\,khi\,\,x \le 0\\ax + b\,\,khi\,\,0 < x < 2\\4 - x\,\,\,khi\,\,2 \le x\end{array} \right.$, trong đó $a$ và $b$ là hai số thực. Tìm $a$ và $b$ để hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Phương pháp giải:

Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc $\mathbb{R}$

Dựa tính liên tục tại các điểm $x = 0;x = 2$ để tìm $a$ và $b$

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$

Với $x < 0$, hàm số $f\left( x \right) = x + 1$ là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$

Với $0 < x < 2$, hàm số $f\left( x \right) = ax + b$ là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng $\left( {0;2} \right)$

Với $x > 2$, hàm số $f\left( x \right) = 4 - x$ là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$

Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ phải liên tục tại các điểm $x = 0$ và $x = 2$

+ Với $x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0 + 1 = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x + 1} \right) = 0 + 1 = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {ax + b} \right) = a.0 + b = b$

Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow b = 1$         $\left( 1 \right)$

+ Với $x = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = 4 - 2 = 2$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {ax + b} \right) = 2a + b$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {4 - x} \right) = 4 - 2 = 2$

Để hàm số liên tục tại $x = 2$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2a + b = 2$      $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $\left\{ \begin{array}{l}b = 1\\2a + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow a = \frac{1}{2};b = 1$