Giải mục 2 trang 67, 68, 69 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Hoạt động 4

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}x + 2,x \ge 1\\x - 4,x < 1\end{array} \right.$ và hai dãy số (${u_n}$) và (${v_n}$) với ${u_n} = 1 + \frac{1}{n}$, ${v_n} = 1 - \frac{1}{n}$

a, So sánh ${u_n},{v_n}$ với 1 và tìm $\lim {u_n}$, $\lim {v_n}$.

b, Tính $f({u_n})$ và $f({v_n})$ theo n.

c, Tìm lim$f({u_n})$ và lim$f({v_n})$.

Phương pháp giải:

a, Xác định $\lim \frac{1}{n}$ để so sánh ${u_n},{v_n}$ với 1 và tìm $\lim {u_n}$, $\lim {v_n}$.

b, Thay ${u_n} = 1 + \frac{1}{n}$, ${v_n} = 1 - \frac{1}{n}$ để tính $f({u_n})$ và $f({v_n})$.

c, Sử dụng câu a,b để tìm lim$f({u_n})$ và lim$f({v_n})$.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có $\lim \frac{1}{n} = 0$ và $\frac{1}{n} > 0$ nên:

${u_n} = 1 + \frac{1}{n} > 1$ và ${v_n} = 1 - \frac{1}{n} < 1$

$\lim {u_n} = \lim (1 + \frac{1}{n}) = 1$ và $\lim {v_n} = \lim (1 - \frac{1}{n}) = 1$.

b, Với ${u_n} > 1$ thay x=${u_n}$ vào f(x)=x+2 ta được:

$f({u_n}) = {u_n} + 2 = 1 + \frac{1}{n} + 2 = 3 + \frac{1}{n}$.

Với ${v_n} < 1$ thay x=${v_n}$ vào f(x) = x-4 ta được:

$f({v_n}) = {v_n} - 4 = 1 - \frac{1}{n} - 4 =  - 3 - \frac{1}{n}$.

c, Ta có: $\lim f({u_n}) = \lim (3 + \frac{1}{n}) = 3$.

$\lim f({v_n}) = \lim ( - 3 - \frac{1}{n}) =  - 3$.

Luyện tập 4

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1,x \ge 1\\\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}},x < 1\end{array} \right.$. Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)$và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)$

Phương pháp giải:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x) = \lim ({x_n}^2 + 1)$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x) = \lim \frac{{{x_n}^2 - 1}}{{{x_n} + 1}}$

Lời giải chi tiết:

Giả sử $({x_n})$ là một dãy số bất kì mà ${x_n} >  - 1$ và $\lim {x_n} =  - 1$, ta có $f\left( {{x_n}} \right) = x_n^2 + 1$.

Vậy$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x)$ =$\lim f({x_n}) = {( - 1)^2} + 1 = 2$.

Giả sử $({x_n})$ là một dãy số bất kì mà ${x_n} <  - 1$ và $\lim {x_n} =  - 1$, ta có $f({x_n}) = \frac{{x_n^2 - 1}}{{{x_n} + 1}} = \frac{{({x_n} - 1)({x_n} + 1)}}{{{x_n} + 1}} = {x_n} - 1$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x) =$$\lim f({x_n}) =  - 1 - 1 =  - 2$.

Luyện tập 5

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2ax + 6,x \ge  - 2\\\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}},x <  - 2\end{array} \right.$. Tìm a, biết rằng tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f(x)$

Phương pháp giải:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} (2ax + 6) =  - 4a + 6$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\mathop { = \lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} (x - 2) =  - 4$

Cho $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f(x)$ để tìm giá trị của a.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} (2ax + 6) =  - 4a + 6$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\mathop { = \lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} (x - 2) =  - 4$

Để tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f(x)$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f(x) \Leftrightarrow  - 4a + 6 =  - 4 \Leftrightarrow  - 4a =  - 10 \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}$

Vậy $a = \frac{5}{2}$.

Hoạt động 5

Đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{1}{{x - 2}}$ được cho trong hình 3.3

a, Nếu M(x;f(x)) là một điểm trên đồ thị, hãy dự đoán giá  trị của f(x) khi x dần đến 2 theo phía phải, theo phía trái.

b, $({x_n})$là một dãy số bất kì mà ${x_n} < 2$ và ${\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = 2$.Tính $f({x_n})$ và $\lim f({x_n})$.

Phương pháp giải:

a, Dựa vào phần đồ thị bên phải để xác định giá trị của f(x) khi x gần đến 2 theo phía phải và phần đồ thị bên trái để xác định giá trị của f(x) khi x gần đến 2 theo phía trái.

b, Thay $x = {x_n}$ để tính $f({x_n})$.

Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)$.

Lời giải chi tiết:

a, Dự đoán: Khi x gần đến 2 theo phía phải thì f(x) gần đến $+ \infty$

Khi x gần đến 2 theo phía trái thì f(x) gần đến $- \infty$.

b, Thay $x = {x_n}$ vào f(x) ta được : $f({x_n}) = \frac{1}{{{x_n} - 2}}$

Cho dãy số $({x_n})$ với ${x_n} > 2$ và ${\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = 2$, lim1=1 ta có:

$\lim f({x_n}) =  + \infty$

Cho dãy số $({x_n})$ với ${x_n} < 2$ và ${\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = 2$, lim 1=1 ta có:

$\lim f({x_n}) =  - \infty$.

Luyện tập 6

Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{2 - x}}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{1}{{x - 4}}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x - a}} =  + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{1}{{x - a}} =  - \infty$ với mọi số thực a.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{2 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - 1}}{{x - 2}} =  + \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{1}{{x - 4}} =  + \infty$