Giải mục 3 trang 100, 101 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Thực hành 4

Cho hai vectơ $\overrightarrow i ,\overrightarrow j$ vuông góc có cùng độ dài bằng 1.

a) Tính ${\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)^2};{\left( {\overrightarrow i  - \overrightarrow j } \right)^2};\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)\left( {\overrightarrow i  - \overrightarrow j } \right)$.

b) Cho $\overrightarrow a  = 2\overrightarrow i  + 2\overrightarrow j ,\overrightarrow b  = 3\overrightarrow i  - 3\overrightarrow j$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow b$ và tính góc $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của tích vô hướng giữa các vectơ

Lời giải chi tiết:

a) Ta có hai vectơ $\overrightarrow i$ và $\overrightarrow j$ vuông góc nên $\overrightarrow i .\overrightarrow j  = 0$

+) ${\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow i } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow j } \right)^2} + 2\overrightarrow i .\overrightarrow j  = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow j } \right|^2} = 1 + 1 = 2$

+) ${\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow i } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow j } \right)^2} - 2\overrightarrow i .\overrightarrow j  = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow j } \right|^2} = 1 + 1 = 2$

+) $\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)\left( {\overrightarrow i  - \overrightarrow j } \right) = {\left( {\overrightarrow i } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow j } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow j } \right|^2} = 1 - 1 = 0$

b) Sử dụng kết quả của câu a) ta có:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left( {2\overrightarrow i  + 2\overrightarrow j } \right).\left( {3\overrightarrow i  - 3\overrightarrow j } \right) = 2.3.\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right).\left( {\overrightarrow i  - \overrightarrow j } \right) = 6.0 = 0$

$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Rightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ$

Vận dụng 2

Phân tử sulfur dioxide $(S{O_2})$ có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết $\widehat {OSO}$ gần bằng $120^\circ$. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S và nguyên tử O bằng các vectơ $\overrightarrow {{\mu _1}}$và $\overrightarrow {{\mu _2}}$ có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và có độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng$\overrightarrow \mu   = \overrightarrow {{\mu _1}}  + \overrightarrow {{\mu _2}}$ được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO ₂ . Tính độ dài của $\overrightarrow \mu$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả của ví dụ 4 trang 101 ${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2bc.\cos C$

Lời giải chi tiết:

Từ điểm cuối của vectơ $\overrightarrow {{\mu _1}}$ vẽ vectơ $\overrightarrow {{\mu _3}}  = \overrightarrow {{\mu _2}}$

Suy ra $\overrightarrow \mu   = \overrightarrow {{\mu _1}}  + \overrightarrow {{\mu _2}}  = \overrightarrow {{\mu _1}}  + \overrightarrow {{\mu _3}}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow \mu  } \right| = \left| {\overrightarrow {{\mu _1}}  + \overrightarrow {{\mu _3}} } \right|$

Ta có: $\left( {\overrightarrow {{\mu _1}} ,\overrightarrow {{\mu _2}} } \right) = 120^\circ  \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{\mu _1}} ,\overrightarrow {{\mu _3}} } \right) = 60^\circ$

$\Rightarrow {\left| {\overrightarrow \mu  } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{\mu _1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{\mu _3}} } \right|^2} - 2\left| {\overrightarrow {{\mu _1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{\mu _3}} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {{\mu _1}} ,\overrightarrow {{\mu _3}} } \right)$

$= 1,{6^2} + 1,{6^2} - 2.1,6.1,6.\cos 60^\circ  = \frac{{64}}{{25}}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow \mu  } \right| = \sqrt {\frac{{64}}{{25}}}  = 1,6$

Vậy độ dài của $\overrightarrow \mu$ là 1,6 đơn vị