Giải mục 3 trang 60, 61, 62 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Hoạt động 4

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Tìm hình chiều của các điểm $A',C',D'$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ theo phương của đường thẳng $BB'$

Phương pháp giải:

Tìm đường thẳng song song với đường thẳng $BB'$ xuất phát từ các điểm $A',C',D'$

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu lần lượt là $A,C,D$

Luyện tập 6

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông. Biết rằng hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là trung điểm $H$ của cạnh $AD$. Xác định hình chiếu của:

a) Tam giác $SBC$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$

b) Các cạnh $SB$ và $SC$ trên mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$

Phương pháp giải:

a) Tìm hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là xong vì $B,C \in \left( {ABCD} \right)$

b) Chứng minh $BA,CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow$$A,D$ là hình chiếu của $B$ và $C$ trên $\left( {SAD} \right)$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $SH \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( {ABCD} \right)$

Vì $B,C \in \left( {ABCD} \right)$ nên hình chiếu của $\Delta SBC$ lên $\left( {ABCD} \right)$ là $\Delta HBC$

b) Vì $SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot AB,SH \bot CD$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SH\\AB \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow$ Hình chiếu vuông góc của $B$ lên $\left( {SAD} \right)$ là $A$

Vậy hình chiếu của $SB$ lên $\left( {SAD} \right)$ là $SA$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SH\\CD \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow$ Hình chiếu vuông góc của $C$ lên $\left( {SAD} \right)$ là $D$

Vậy hình chiếu của $SC$ lên $\left( {SAD} \right)$ là $SD$

Hoạt động 5

Cho đường thẳng $b$ không nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ và không vuông góc với $\left( \alpha  \right)$. Gọi $A,B$ là hai điểm phân biệt trên $b$ và $A',B'$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ trên $\left( \alpha  \right)$. Gọi $b'$ là đường thẳng đi qua $A',B'$ thì $b'$ là hình chiếu vuông góc của $b$ trên mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$. Xét $a$ là một đường thẳng nằm tròn $\left( \alpha  \right)$.

a) Nếu $a \bot b'$ thì $a$ có vuông góc với $b$ không? Vì sao?

b) Nếu $a \bot b$ thì $a$ có vuông góc với $b'$ không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Chứng minh $a \bot AA'$

Chứng minh $a \bot \left( {AA'B'B} \right)$ từ đó suy ra $a \bot b'$ và $a \bot b$

Lời giải chi tiết:

a) Vì $\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot \left( \alpha  \right)\\a \subset \left( \alpha  \right)\end{array} \right. \Rightarrow AA' \bot a$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}a \bot b'\\a \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( {AA'B'B} \right)$. Mà $b \subset \left( {AA'B'B} \right) \Rightarrow a \bot b$

b) Vì $\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot \left( \alpha  \right)\\a \subset \left( \alpha  \right)\end{array} \right. \Rightarrow AA' \bot a$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\a \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( {AA'B'B} \right)$. Mà $b' \subset \left( {AA'B'B} \right) \Rightarrow a \bot b'$

Luyện tập 7

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cân đỉnh $B$ và hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AC$ và $SB$ vuông góc với nhau.

Phương pháp giải:

Lấy $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$. Chứng minh $BG$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ xuống $\left( {ABC} \right)$ kết hợp với $AC \bot BG$ từ đó suy ra $AC \bot SB$

Lời giải chi tiết:

Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$. Ta có $SG \bot \left( {ABC} \right)$ (gt), suy ra $BG$ là hình chiếu vuông góc của $SG$ xuống $\left( {ABC} \right)$ $\left( 1 \right)$

Vì $\Delta$$ABC$ cân tại $B$ suy ra $BG \bot AC$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $AC \bot SB$ (định lý ba đường vuông góc)