Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x$. Chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x$. Chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Tìm đạo hàm của hàm số $2F(x)$.

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số $2f(x)$ để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = x$ là:

$F(x) = \int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$, tức là:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)$

Tính đạo hàm của $2F(x)$:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2 \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + C} \right] = 2 \cdot \left( x \right) = 2x$

Mà $2f(x) = 2x$. Do đó, ta có:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)$

Vậy $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $f(x) = {e^{2x + 1}};$

b) $g(x) = \frac{8}{x}$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng phương pháp tích phân với hàm mũ. Áp dụng kỹ thuật đổi biến nếu cần thiết.

b) Sử dụng công thức tích phân cơ bản đối với hàm số dạng $\frac{1}{x}$.

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{2x + 1}}$ được tính như sau:

Trước tiên, ta đổi biến đặt $u = 2x + 1$. Khi đó, $du = 2dx$ hay $dx = \frac{{du}}{2}$. Tích phân của $f(x)$ trở thành:

$\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{e^u}} \cdot \frac{{du}}{2} = \frac{1}{2}\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du = \frac{1}{2}{e^u} + C$

Thay $u = 2x + 1$ trở lại:

$\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{2x + 1}}$ là:

$F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{8}{x}$ được tính như sau: Ta biết rằng:

$\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + C$

Do đó:

$\int {\frac{8}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\ln |x| + C$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{8}{x}$ là:

$G(x) = 8\ln |x| + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

HĐ7

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x$ và một nguyên hàm $G(x)$ của hàm số $g(x) = 3$. Chứng minh $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x)$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm của $f(x) = 2x$ và $g(x) = 3$.

- Tìm đạo hàm của hàm số $F(x) + G(x)$.

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số $f(x) + g(x)$ để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x$ là:

$F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}$

trong đó ${C_1}$ là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số $g(x) = 3$ là:

$G(x) = \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x + {C_2}$

trong đó ${C_2}$ là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x) = 2x + 3$, tức là:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)$

Tính đạo hàm của $F(x) + G(x)$:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^2} + {C_1} + 3x + {C_2}} \right] = 2x + 3$

Mà $f(x) + g(x) = 2x + 3$.

Do đó, ta có:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)$

Vậy $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x)$.

LT8

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $f(x) = {x^3} - {3^x};$

b) $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$.

Phương pháp giải:

a) Tính nguyên hàm của từng thành phần của hàm số. Đối với ${x^3}$, áp dụng công thức tích phân cơ bản của đa thức. Đối với ${3^x}$, sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ với cơ số khác $e$.

b) Tính nguyên hàm của từng thành phần. Đối với $\frac{1}{x}$, áp dụng công thức tích phân cơ bản. Đối với $\frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$, nhận dạng và sử dụng công thức tích phân của ${\csc ^2}x$.

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {x^3} - {3^x}$ được tính như sau:

Tính nguyên hàm của ${x^3}$:

$\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + {C_1}$

Tính nguyên hàm của $ - {3^x}$:

$\int - {3^x}{\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {C_2}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là:

$F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_1}$ và ${C_2}$).

b) Nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$ được tính như sau:

Tính nguyên hàm của $\frac{1}{x}$:

$\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + {C_3}$

Tính nguyên hàm của $ - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$:

$\int - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}{\mkern 1mu} dx = - 4\int {{{\csc }^2}} x{\mkern 1mu} dx = - 4( - \cot x) = 4\cot x + {C_4}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x)$ là:

$G(x) = \ln |x| + 4\cot x + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_3}$ và ${C_4}$).

LT9

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}};$

b) $h(t) = 2t(t - 3)$.

Phương pháp giải:

- Chia từng thành phần của tử số cho mẫu số để đơn giản hóa hàm số.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Phân phối 2t qua dấu ngoặc để đơn giản hóa biểu thức.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

Đầu tiên, ta đơn giản hóa hàm số bằng cách chia tử số cho mẫu số:

$g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^2}}} = {x^2} + 2{x^{ - 2}}$

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số $g(x) = {x^2} + 2{x^{ - 2}}$:

$\int g (x){\mkern 1mu} dx = \int {({x^2} + 2{x^{ - 2}})} {\mkern 1mu} dx$

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

$\int {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}$

$\int 2 {x^{ - 2}}{\mkern 1mu} dx = 2\int {{x^{ - 2}}} {\mkern 1mu} dx = 2 \cdot \left( { - {x^{ - 1}}} \right) = - \frac{2}{x} + {C_2}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x)$ là:

$G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_1}$ và ${C_2}$).

Đầu tiên, ta phân phối $2t$ qua dấu ngoặc:

$h(t) = 2t(t - 3) = 2{t^2} - 6t$

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số $h(t) = 2{t^2} - 6t$:

$\int h (t){\mkern 1mu} dt = \int {(2{t^2} - 6t)} {\mkern 1mu} dt$

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

$\int 2 {t^2}{\mkern 1mu} dt = 2 \cdot \frac{{{t^3}}}{3} = \frac{{2{t^3}}}{3} + {C_3}$

$\int - 6t{\mkern 1mu} dt = - 6 \cdot \frac{{{t^2}}}{2} = - 3{t^2} + {C_4}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $h(t)$ là:

$H(t) = \frac{{2{t^3}}}{3} - 3{t^2} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_3}$ và ${C_4}$).

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm $t$ tháng kể từ khi người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức $P'(t) = 8t + 30$ (con/tháng), với $P(t)$ là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm $t$ tháng tương ứng. Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng.

Phương pháp giải:

Tìm hàm số lượng cá thể $P(t)$:

- Biết $P'(t) = 8t + 30$ là đạo hàm của hàm số lượng cá thể $P(t)$, ta tìm $P(t)$ bằng cách lấy tích phân của $P'(t)$ và thêm hằng số tích phân $C$.

- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$.

Tính số lượng cá thể tại $t = 3$:

- Thay $t = 3$ vào hàm $P(t)$ đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.

Lời giải chi tiết:

Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là $P'(t) = 8t + 30$. Tích phân của $P'(t)$ là:

$P(t) = \int {(8t + 30)} {\mkern 1mu} dt = 4{t^2} + 30t + C$

với $C$ là hằng số tích phân.

Theo đề bài, tại thời điểm $t = 0$, số lượng cá thể là 100:

$P(0) = 4{(0)^2} + 30(0) + C = 100$