Giải mục 3 trang 28 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 28 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = f(x) = \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}}.$

Phương pháp giải:

- Tìm tập xác định của hàm số.

- Xét sự biến thiên của hàm số.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

- Tập xác định: ${\rm{D}} = {\rm{R}}\backslash \left\{ {\frac{{ - 1}}{2}} \right\}$.

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}} = 1.$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}} = 1.$

Suy ra đường thẳng ${\rm{y}} = 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ + }} \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}} =  + \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ - }} \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}} =  - \infty$

Suy ra đường thẳng ${\rm{x}} = \frac{{ - 1}}{2}$. là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ta có: ${y^\prime } = \frac{{ - 6}}{{{{(2x + 1)}^2}}} < 0.$

Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ,\frac{{ - 1}}{2}} \right)$ và $\left( {\frac{{ - 1}}{2}, + \infty } \right)$

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

- Vẽ đồ thị:

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 28 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Ở một bể chứa nước có chứa 1000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào bể nước với tốc độ là 25 lít/phút.

a) Chứng minh rằng nồng độ muối của nước trong bể sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là: $C(t) = \frac{{30t}}{{40 + t}}.$

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = C(t)$ sau 10 tiếng kể từ lúc bắt đầu bơm, từ đó nhận xét về nồng độ muối trong bể khi thời gian ttt càng lớn.

Phương pháp giải:

a)

Tính lượng nước biển bơm vào sau 𝑡 phút.

Tính tổng lượng nước trong bể sau 𝑡 phút.

Tính lượng muối bơm vào bể sau 𝑡 phút.

Tính nồng độ muối 𝐶(𝑡).

b)

Tính giới hạn của C(t) khi $t \to \infty$ _.

Tính đạo hàm của C(t).

Xét dấu của đạo hàm C’(t).

Từ dấu của đạo hàm và giới hạn khi $t \to \infty$kết luận về sự biến thiên và giá trị tiệm cận của hàm số.

Lời giải chi tiết:

a)

Lượng nước biển bơm vào sau $t$ phút: $V = 25t$ lít.

Tổng lượng nước trong bể sau $t$ phút: $1000 + 25t$ lít.

Lượng muối bơm vào bể sau $t$ phút: $30.25t = 750t {\rm{gam}}.$

Nồng độ muối $C(t) = \frac{{750t}}{{1000 + 25t}} = \frac{{750t}}{{25(40 + t)}} = \frac{{30t}}{{40 + t}}.$

b)

Vì t là thời gian nên tập xác định của hàm số

${\rm{y}} = C(t)$ là t > 0.

Giới hạn của $C(t)$ khi $t \to \infty$ : $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{30t}}{{40 + t}} = 30.$

Đạo hàm của $C(t)$ : ${C^\prime }(t) = \frac{{30.(40 + t) - 30t.1}}{{{{(40 + t)}^2}}} = \frac{{1200 + 30t - 30t}}{{{{(40 + t)}^2}}} = \frac{{1200}}{{{{(40 + t)}^2}}}.$

Nhận thấy ${C^\prime }(t) > 0\forall t > 0.$

Vậy nồng độ muối trong bể tăng dần khi thời gian $t$ càng lớn.

Khi $t \to \infty$, nồng độ muối trong bể tiệm cận 30 gam/lít.