Giải mục 4 trang 46, 47 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

HĐ4

Cho điểm $M(x;y)$ trên elip (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$và hai đường thẳng ${\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0$ và ${\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0$ (Hình 10). Gọi $d(M,{\Delta _1});d(M,{\Delta _2})$ lần lượt là khoảng cách từ M đến ${\Delta _1},{\Delta _2}.$ Ta có $d(M,{\Delta _1}) = \left| {x + \frac{a}{e}} \right| = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e} = \frac{{a + ex}}{e}$ (vì $e > 0$ và $a + ex = M{F_1} > 0$).

Suy ra $\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{a + ex}}{{\frac{{a + ex}}{e}}} = e$

Dựa theo cách tính trên, hãy tính $\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $d(M,{\Delta _2}) = \left| {x - \frac{a}{e}} \right| = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{e} = \frac{{a - ex}}{e}$ (vì $e > 0$ và $a - ex = M{F_2} > 0$).

Suy ra $\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{{a - ex}}{{\frac{{a - ex}}{e}}} = e$

Thực hành 4

Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các elip sau:

a)  $({E_1}):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$

b) $({E_2}):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1$

Phương pháp giải:

Cho elip (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

+ Ứng với tiêu điểm ${F_1}( - c;0)$, có đường chuẩn ${\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0$

+ Ứng với tiêu điểm ${F_2}(c;0)$, có đường chuẩn ${\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0$

Lời giải chi tiết:

a) Elip $({E_1})$ có $a = 2,b = 1$, suy ra $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt 3 ,e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

+ Ứng với tiêu điểm ${F_1}( - \sqrt 3 ;0)$, có đường chuẩn ${\Delta _1}:x + \frac{{4\sqrt 3 }}{3} = 0$

+ Ứng với tiêu điểm ${F_2}\left( {\sqrt 3 ;0} \right)$, có đường chuẩn ${\Delta _2}:x - \frac{{4\sqrt 3 }}{3} = 0$

b) Elip $({E_2})$ có $a = 10,b = 6$, suy ra $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 8,e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}.$

+ Ứng với tiêu điểm ${F_1}( - 8;0)$, có đường chuẩn ${\Delta _1}:x + \frac{{25}}{2} = 0$

+ Ứng với tiêu điểm ${F_2}\left( {8;0} \right)$, có đường chuẩn ${\Delta _2}:x - \frac{{25}}{2} = 0$

Vận dụng 4

Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là $\frac{{50}}{3}$.

Phương pháp giải:

Cho elip (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

+ Tiêu cự: $2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}}$

+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: $\frac{{2a}}{e}$

Lời giải chi tiết:

< b < a)\)

+ Tiêu cự: $2c = 6 \Leftrightarrow c = 3$

+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: $\frac{{2a}}{e} = 2.\frac{{{a^2}}}{c} = \frac{{50}}{3} \Rightarrow {a^2} = 100$

Hay $a = 10$, suy ra ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 91$

Vậy elip cần tìm là $\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{91}} = 1$