Giải mục 3 trang 37, 38 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Thực hành 3

Xác định hệ số của ${x^2}$ trong khai triển của ${(3x + 2)^9}$

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: ${(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$

Số hạng chứa ${x^k}$ trong khai triển của ${(ax + b)^n}$ là $C_n^{n - k}{(ax)^k}{b^{n - k}}$

Do đó hệ số của ${x^k}$ trong khai triển của ${(ax + b)^n}$ là $C_n^{n - k}{a^k}{b^{n - k}}$

Lời giải chi tiết:

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

${(3x + 2)^9} = C_9^0{\left( {3x} \right)^9} + C_9^1{\left( {3x} \right)^8}2 + ... + C_9^k{\left( {3x} \right)^{9 - k}}{2^k} + ... + C_9^8\left( {3x} \right){2^8} + C_9^9{2^9}$

Số hạng chứa ${x^2}$ ứng với $9 - k = 2$ hay $k = 7$. Do đó hệ số của ${x^2}$  là

$C_9^7{3^2}{2^7} = 36.9.128 = 41472$

Thực hành 4

Biết rằng trong khai triển của ${(x + a)^6}$ với a là một số thực, hệ số của ${x^4}$ là 60. Tìm giá trị của a.

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: ${(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$

Số hạng chứa ${x^k}$ trong khai triển của ${(ax + b)^n}$ là $C_n^{n - k}{(ax)^k}{b^{n - k}}$

Do đó hệ số của ${x^k}$ trong khai triển của ${(ax + b)^n}$ là $C_n^{n - k}{a^k}{b^{n - k}}$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

${(x + a)^6} = C_6^0{x^6} + C_6^1{x^5}a + ... + C_6^k{x^{6 - k}}{a^k} + ... + C_6^6{a^6}$

Số hạng chứa ${x^4}$ ứng với $6 - k = 4$ hay $k = 2$. Hệ số của số hạng chứa ${x^4}$  là $C_6^2{a^2}$

Theo giả thiết ta có: $C_6^2{a^2} = 60$

$\Leftrightarrow 15{a^2} = 60 \Leftrightarrow {a^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a =  - 2\end{array} \right.$

Vậy $a = 2$ hoặc $a =  - 2$.

Thực hành 5

Chứng minh rằng, với mọi $n \in \mathbb{N}*$, ta có

$C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n = 0$

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: ${(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

${(1 + x)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}$

Thay $x =  - 1$ ta được:

$0 = C_n^0 + ( - 1)C_n^1 + {( - 1)^2}C_n^2 + {( - 1)^3}C_n^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n$

Hay $C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n = 0$

Vận dụng

Trong hộp A có 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Người ta lấy một số quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B. Có tất cả bao nhiêu cách lấy, tính cả trường hợp lấy 0 quả (tức là không lấy quả nào)?

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: ${(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$

Lời giải chi tiết:

Giả sử lấy k quả cầu từ hộp A cho sáng hộp B. $(0 \le k \le 10)$

Để lấy k quả cầu, có $C_{10}^k$ cách lấy. (trường hợp không lấy quả nào được tính là 1 cách, bằng $C_{10}^0$)

Vậy số cách lấy một số quả cầu (kể cả cách lấy 0 quả) từ hộp A cho sang hộp B là:

$C_{10}^0 + C_{10}^1 + C_{10}^2 + ... + C_{10}^{10} = {2^{10}} = 1024.$