Giải mục 2 trang 61, 62, 63, 64 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

HĐ2

Cho đường conic có tiêu điểm F, đường chuẩn $\Delta$ và một điểm M là điểm nằm trên đường conic đó. Tìm mối liên hệ giữa tỉ số $\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}}$ và tên gọi của đường conic đó.

Lời giải chi tiết:

+ Elip (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, $M(x;y) \in (E)$

$\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{a + ex}}{{\frac{{a + ex}}{e}}} = e$, $\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{{a - ex}}{{\frac{{a - ex}}{e}}} = e$

Vậy $\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = e = \frac{c}{a} < 1$

+ Hypebol (H):  $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, $M(x;y) \in (H)$

$\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\left| {x + \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}}} = e$; $\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\left| {x - \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a - ex} \right|}}{e}}} = e$ ;

Vậy $\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = e = \frac{c}{a} > 1$

+ Parabol (P)  ${y^2} = 2px$

$\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e = 1$

Kết luận các đường conic đều có $\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e$ và

$\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} < 1$ thì conic là đường elip

$\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = 1$ thì conic là đường parabol

$\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} > 1$ thì conic là đường hypebol

Thực hành 2

Xác định tâm sai, tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn tương ứng của mỗi đường conic sau:

a) $\frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1$

b) $\frac{{{x^2}}}{{12}} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1$

c) ${y^2} = \frac{1}{2}x$

Phương pháp giải:

a) Elip (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}$

+ Tâm sai của elip: $e = \frac{c}{a}$

+ Tiêu điểm ${F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)$

+ Đường chuẩn: ${\Delta _1}:x =  - \frac{a}{e}$ và ${\Delta _2}:x = \frac{a}{e}$.

b) Hypebol (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$

+ Tâm sai của hypebol: $e = \frac{c}{a}$

+ Tiêu điểm ${F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)$

+ Đường chuẩn: ${\Delta _1}:x =  - \frac{a}{e}$ và ${\Delta _2}:x = \frac{a}{e}$.

c) Parabol (P)  ${y^2} = 2px$

+ Tâm sai $e = 1$

+ Tiêu điểm $F(\frac{p}{2};0)$

+ Đường chuẩn: $\Delta :x =  - \frac{p}{2}$

Lời giải chi tiết:

a) Elip (E): $\frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1$, suy ra $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt 3$

+ Tâm sai của elip: $e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}$

+ Tiêu điểm ${F_1}( - \sqrt 3 ;0),{F_2}(\sqrt 3 ;0)$

+ Đường chuẩn: ${\Delta _1}:x =  - \frac{{5\sqrt 3 }}{3}$ và ${\Delta _2}:x = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}$.

b) Hypebol (H): $\frac{{{x^2}}}{{12}} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1$, $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 4$

+ Tâm sai của hypebol: $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$

+ Tiêu điểm ${F_1}( - 4;0),{F_2}(4;0)$

+ Đường chuẩn: ${\Delta _1}:x =  - 3$ và ${\Delta _2}:x = 3$.

c) Parabol (P): ${y^2} = \frac{1}{2}x$, suy ra $p = \frac{1}{4}$

+ Tâm sai $e = 1$

+ Tiêu điểm $F(\frac{1}{8};0)$

+ Đường chuẩn: $\Delta :x =  - \frac{1}{8}$

Vận dụng 2

Quỹ đạo của các vật thể sau đây là những đường conic. Những đường này là elip, parabol hay hypebol.

(Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/oumuamud)

Phương pháp giải:

Đường conic có tâm sai e:

+ $0 < e < 1$ thì conic là đường elip

+ $e = 1$ thì conic là đường parabol

+ $e > 1$ thì conic là đường hypebol

Lời giải chi tiết: