Giải mục 2 trang 55, 56, 57, 58 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho điểm $M(x;y)$ trên parabol (P) ${y^2} = 2px$ (Hình 2). Tính khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm $F$ của (P).

HĐ2

Cho điểm $M(x;y)$ trên parabol (P) ${y^2} = 2px$ (Hình 2). Tính khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm $F$ của (P).

Lời giải chi tiết:

Tiêu điểm $F(\frac{p}{2};0)$

Ta có:

$MF = \sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + 2p{x_0}} = \sqrt {{{\left( {x + \frac{p}{2}} \right)}^2}} = x + \frac{p}{2}$ ;

Thực hành 2

Tính bán kính qua tiêu của điểm dưới đây trên parabol tương ứng.

a) Điểm ${M_1}(1; - 4)$ trên $({P_1}):{y^2} = 16x$

b) Điểm ${M_2}(3; - 3)$ trên $({P_2}):{y^2} = 3x$

c) Điểm ${M_3}(4;1)$ trên $({P_3}):{y^2} = \frac{1}{4}x$

Phương pháp giải:

Cho parabol có phương trình chính tắc ${y^2} = 2px$

+) Với $M({x_0};{y_0})$ thuộc parabol, bán kính qua tiêu: $FM = {x_0} + \frac{p}{2}$

Lời giải chi tiết:

a) $({P_1}):{y^2} = 16x$

Ta có $2p = 16$ , suy ra $p = 8$ . Vậy độ dài bán kính qua tiêu của điểm ${M_1}(1; - 4)$ là: $FM = x + \frac{p}{2} = 1 + \frac{8}{2} = 5.$

b) $({P_2}):{y^2} = 3x$

Ta có $2p = 3$ , suy ra $p = \frac{3}{2}$ . Vậy độ dài bán kính qua tiêu của điểm ${M_2}(3; - 3)$ là: $FM = x + \frac{p}{2} = 3 + \frac{{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{{15}}{4}.$

c) $({P_3}):{y^2} = \frac{1}{4}x$

Ta có $2p = \frac{1}{4}$ , suy ra $p = \frac{1}{8}$ . Vậy độ dài bán kính qua tiêu của điểm ${M_3}(4;1)$ là: $FM = x + \frac{p}{2} = 4 + \frac{{\frac{1}{8}}}{2} = \frac{{65}}{{16}}.$

Vận dụng 2

Một cổng có dạng một đường parabol (P). Biết chiều cao của cổng là 7,6 m và khoảng cách giữa hai chân cổng là 9m. Người ta muốn treo một ngôi sao tại tiêu điểm F của (P) bằng một đoạn dây nối từ đỉnh S của cổn. Tính khoảng cách từ tâm ngôi sao đến đỉnh cổng.

Phương pháp giải:

Cho parabol có phương trình chính tắc ${y^2} = 2px$

+) Tiêu điểm $F(\frac{p}{2};0)$

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình chính tắc của parabol là: ${y^2} = 2px$

Chiều cao của cổng là 7,6 m nên $A(7,6;0)$

Khoản cách giữa hai chân cổng là 9m nên $B(7,6;4,5)$

$B \in (P)$ suy ra $4,{5^2} = 2p.7,6 \Rightarrow p = \frac{{405}}{{304}}$

Tiêu điểm F của (P) có tọa độ: $F\left( {\frac{{405}}{{608}};0} \right)$

Hay khoảng cách từ tâm ngôi sao đến đỉnh cổng là $\frac{{405}}{{608}} \approx 0,67(m)$ ,

Vận dụng 3

Mặt cắt của một chảo ăng-ten có dạng một parabol (P) có phương trình chính tắc ${y^2} = 0,25x$ . Biết đầu thu tín hiệu của chảo ăng-ten tại tiêu điểm F của (P). Tính khoảng cách từ điểm $M(0,25;0,25)$ trên ăng-ten đến F.