Giải mục 4 trang 54, 55, 56 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

HĐ4

Cho điểm M (x; y) trên hypebol (H) $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, và hai đường thẳng ${\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0$ và ${\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0$ (Hình 7). Gọi $d(M,{\Delta _1}),d(M,{\Delta _2})$ lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}.$

Ta có $\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\left| {x + \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}}} = e$

Dựa theo cách tính trên, tính  $\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$M{F_2} = \left| {a - ex} \right|$; $d(M,{\Delta _2}) = \left| {x - \frac{a}{e}} \right|$

$\Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\left| {x - \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a - ex} \right|}}{e}}} = e$ ;

Vậy $\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = e.$

Thực hành 4

Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các hypebol sau:

a)  $({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1$

b) $({H_2}):\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1$

c) $({H_3}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1$

Phương pháp giải:

Cho hypebol $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

+ Ứng với tiêu điểm ${F_1}( - c;0)$, có đường chuẩn ${\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0$

+ Ứng với tiêu điểm ${F_2}(c;0)$, có đường chuẩn ${\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0$

Lời giải chi tiết:

a) Hypebol $({H_1})$ có $a = 2,b = 1$, suy ra $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt 5 ,e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{2};\frac{a}{e} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}$

+ Ứng với tiêu điểm ${F_1}( - \sqrt 5 ;0)$, có đường chuẩn ${\Delta _1}:x + \frac{{4\sqrt 5 }}{5} = 0$

+ Ứng với tiêu điểm ${F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)$, có đường chuẩn ${\Delta _2}:x - \frac{{4\sqrt 5 }}{5} = 0$

b) Hypebol $({H_2})$ có $a = 6,b = 8$, suy ra $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 10,e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3};\frac{a}{e} = \frac{{18}}{5}$

+ Ứng với tiêu điểm ${F_1}( - 10;0)$, có đường chuẩn ${\Delta _1}:x + \frac{{18}}{5} = 0$

+ Ứng với tiêu điểm ${F_2}\left( {10;0} \right)$, có đường chuẩn ${\Delta _2}:x - \frac{{18}}{5} = 0$

c) Hypebol $({H_3})$ có $a = b = 3$, suy ra $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 3\sqrt 2 ,e = \frac{c}{a} = \sqrt 2 ;\frac{a}{e} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$

+ Ứng với tiêu điểm ${F_1}( - 3\sqrt 2 ;0)$, có đường chuẩn ${\Delta _1}:x + \frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 0$

+ Ứng với tiêu điểm ${F_2}\left( {3\sqrt 2 ;0} \right)$, có đường chuẩn ${\Delta _2}:x - \frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 0$

Vận dụng 5

Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là $\frac{{288}}{{13}}$.

Phương pháp giải:

Cho hypebol (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

+ Tiêu cự: $2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}}$

+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: $\frac{{2a}}{e}$

Lời giải chi tiết:

Gọi hypebol (H) cần tìm là: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$. $(0 < b < a)$

+ Tiêu cự: $2c = 26 \Leftrightarrow c = 13$

+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: $\frac{{2a}}{e} = 2.\frac{{{a^2}}}{c} = \frac{{288}}{{13}} \Rightarrow a = 12$

Suy ra $b = \sqrt {{c^2} - {a^2}}  = 5$

Vậy PTCT của (H) là $\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1$