Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn - SGK Toán 10 Kết nối tri thức — Không quảng cáo

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

+) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:

$ax + by \le c\;(ax + by \ge c,ax + by < c,ax + by > c)$ trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Ví dụ: $2x + 3y > 10$

+) Cặp số $({x_0};{y_0})$ được gọi là một nghiệm của BPT bậc nhất hai ẩn $ax + by \le c\;$nếu bất đẳng thức $a{x_0} + b{y_0} \le c\;$đúng.

Ví dụ : cặp số $(3;5)$ là một nghiệm của BPT $2x + 3y > 10$ vì $2.3 + 3.5 = 21 > 10$

+) BPT bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

+) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình $ax + by \le c\;$được gọi là miền nghiệm của BPT đó.

+) Đường thẳng $d:ax + by = c\;$chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng bờ d:

-  Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn $ax + by > c$

-  Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn $ax + by < c$

-  Bờ d gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn $ax + by = c$

+) Cách biểu diễn miền nghiệm của BPT $ax + by \le c\;$

Bước 1: Vẽ đường thẳng $d:ax + by = c\;$trên hệ trục Oxy

Bước 2: Lấy một điểm ${M_0}({x_0};{y_0})$ không thuộc d

Bước 3: Tính $a{x_0} + b{y_0}$ và so sánh với c.

Bước 4: Nếu $a{x_0} + b{y_0} < c$thì nửa mặt phẳng bờ d chứa ${M_0}$ là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu $a{x_0} + b{y_0} > c$ thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa ${M_0}$ là miền nghiệm của BPT.

* Chú ý:

-  Nếu $c \ne 0$ ta thường chọn ${M_0}$ là gốc tọa độ.

-  Nếu $c = 0$ ta thường chọn ${M_0}$ có tọa độ $(1;0)$ hoặc $(0;1).$

-  Miền nghiệm của BPT $ax + by < c\;$ là miền nghiệm của BPT $ax + by \le c\;$bỏ đi đường thẳng $ax + by = c\;$ và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.