Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Hệ thức Vi-ét
1. Các kiến thức cần nhớ
Hệ thức Vi-ét
Cho phương trình bậc hai ax2+bx+c=0(a≠0). Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình thì {x1+x2=−bax1⋅x2=ca.
Ví dụ: Phương trình 2x2−5x+2=0 có Δ=9>0 nên phương trình có hai nghiệm x1;x2.
Theo hệ thức Vi-ét ta có: {x1+x2=52x1⋅x2=22=1.
Ứng dụng của hệ thức Vi-ét
+) Xét phương trình bậc hai: ax2+bx+c=0(a≠0).
Nếu phương trình có a+b+c=0 thì phương trình có một nghiệm là x1=1, nghiệm kia là x2=ca.
Nếu phương trình có a−b+c=0 thì phương trình có một nghiệm là x1=−1, nghiệm kia là x2=−ca.
+) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng : Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình X2−SX+P=0 (ĐK: S2≥4P)
Ví dụ:
+ Phương trình 2x2−9x+7=0 có a+b+c=2+(−9)+7=0 nên có hai nghiệm x1=1;x2=ca=72
+ Phương trình 2x2+9x+7=0 có a−b+c=2−9+7=0 nên có hai nghiệm x1=−1;x2=−ca=−72
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức liên quan giữa các nghiệm.
Phương pháp:
Bước 1 : Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm : {a≠0Δ≥0. Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : S=x1+x2=−ba và P=x1x2=ca.
Bước 2 : Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng x1+x2 và tích x1x2, sau đó áp dụng bước 1.

Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm thường gặp là :
+) A=x21+x22=(x1+x2)2−2x1x2=S2−2P
+) B=x31+x32
=(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2)=S3−3SP
+) C=x41+x42=(x21+x22)2−2x21x22
=[(x1+x2)2−2x1x2]2−2(x1x2)2=(S2−2P)2−2P2
+) D=|x1−x2|
=√(x1+x2)2−4x1x2 .
+)
E=(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2
=S2−4P .
Dạng 2 : Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm
Phương pháp :
Xét phương trình bậc hai : ax2+bx+c=0(a≠0).
+) Nếu phương trình có a+b+c=0 thì phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca.
+ ) Nếu phương trình có a−b+c=0 thì phương trình có một nghiệm x1=−1, nghiệm kia là x2=−ca.
+) Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình thì {S=x1+x2=−baP=x1x2=ca.
Dạng 3 : Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử
Phương pháp :
Nếu tam thức bậc hai ax2+bx+c(a≠0) có hai nghiệm x1 và x2 thì nó được phân tích thành nhân tử: ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2).
Dạng 4 : Tìm hai số khi biết tổng và tích
Phương pháp :
Để tìm hai số x,y khi biết tổng S=x+y và tích P=xy, ta làm như sau:
Bước 1: Xét điều kiện S2≥4P. Giải phương trình X2−SX+P=0 để tìm các nghiệm X1,X2.
Bước 2: Khi đó các số cần tìm x,y là x=X1,y=X2 hoặc x=X2,y=X1.
Dạng 5 : Bài toán liên quan đến dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp :
Xét phương trình ax2+bx+c=0(a≠0). Khi đó:
1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ac<0.
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu ⇔{Δ>0P>0.
3. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ⇔{Δ>0P>0S>0.
4. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt ⇔{Δ>0P>0S<0.
5. Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương ⇔{ac<0S<0.
Dạng 6 : Xác định điều kiện của tham số để nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp :
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm {a≠0Δ≥0.
Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.
Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.
3. Bài tập về hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Câu 1: Chọn phát biểu đúng. Phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) có hai nghiệm x1;x2. Khi đó
A. {x1+x2=−bax1.x2=ca
B. {x1+x2=bax1.x2=ca
C. {x1+x2=−bax1.x2=−ca
D. {x1+x2=bax1.x2=−ca
Lời giải
Cho phương trình bậc hai ax2+bx+c=0(a≠0). Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình thì
{x1+x2=−bax1⋅x2=ca.
Đáp án A.
Câu 2: Chọn phát biểu đúng. Phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) có a−b+c=0. Khi đó
A. Phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca
B. Phương trình có một nghiệm x1=−1, nghiệm kia là x2=ca
C. Phương trình có một nghiệm x1=−1, nghiệm kia là x2=−ca.
D. Phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=−ca.
Lời giải
+) Nếu phương trình ax2+bx+c=0(a≠0)có a+b+c=0 thì phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca.
+ ) Nếu phương trình ax2+bx+c=0(a≠0)có a−b+c=0 thì phương trình có một nghiệm x1=−1, nghiệm kia là x2=−ca.
Đáp án C.
Câu 3: Cho hai số có tổng là S và tích là P với S2≥4P. Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây?
A. X2−PX+S=0
B. X2−SX+P=0
C. SX2−X+P=0
D. X2−2SX+P=0
Lời giải
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình X2−SX+P=0 (ĐK: S2≥4P)
Đáp án B.
Câu 4: Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình x2−6x+7=0
A. 16
B. 3
C. 6
D. 7
Lời giải
Phương trình x2−6x+7=0 có Δ=(−6)2−4.1.7=8>0 nên phương trình có hai nghiệm x1;x2
Theo hệ thức Vi-et ta có x1+x2=−−61⇔x1+x2=6
Đáp án C.
Câu 5: Tìm các giá trị của m để phương trình x2−2(m−1)x−m+2=0 có hai nghiệm trái dấu.
A. m<2
B. m>2
C. m=2
D. m>0
Lời giải
Phương trình x2−2(m−1)x−m+2=0(a=1;b=−2(m−1);c=−m+2)
Nên phương trình có hai nghiệm trái dấu khi ac<0⇔1.(−m+2)<0⇔m>2
Vậy m>2 là giá trị cần tìm.
Đáp án C.
Câu 6: Tìm hai nghiệm của phương trình 18x2+23x+5=0 sau đó phân tích đa thức A=18x2+23x+5 sau thành nhân tử.
A. x1=−1;x2=−518; A=18(x+1)(x+518)
B. x1=−1;x2=−518; A=(x+1)(x+518)
C. x1=−1;x2=518; A=18(x+1)(x−518)
D. x1=1;x2=−518; A=18(x−1)(x+518)
Lời giải
Phương trình 18x2+23x+5=0 có a−b+c=18−23+5=0 nê phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1=−1;x2=−518. Khi đó A=18.(x+1)(x+518).
Đáp án A.
Câu 7: Tìm u−v biết rằng u+v=15,uv=36 và u>v
A. 8
B. 12
C. 9
D. 10
Lời giải
Ta có S=u+v=15,P=uv=36 . Nhận thấy S2=225>144=4P nên u,v là hai nghiệm của phương trình
x2−15x+36=0⇔(x−12)(x−3)=0⇔[x=12x=3
Vậy u=12;v=3 (vì u>v) nên u−v=12−3=9.
Đáp án C.
Câu 8: Biết rằng phương trình x2−(2a−1)x−4a−3=0 luôn có hai nghiệm x1;x2 với mọi a. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a.
A. 2(x1+x2)−x1x2=5
B. 2(x1+x2)−x1x2=−5
C. 2(x1+x2)+x1x2=5
D. 2(x1+x2)+x1x2=−5
Lời giải
Theo Vi-ét ta có {x1+x2=2a−1x1⋅x2=−4a−3⇔{2(x1+x2)=4a−2x1.x2=−4a−3⇒2(x1+x2)+x1x2=−5
Vậy hệ thức cần tìm là 2(x1+x2)+x1x2=−5.
Đáp án D.