Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Lý thuyết Hệ thức Vi - Ét và ứng dụng — Không quảng cáo

Giải toán 9, giải bài tập toán lớp 9 đầy đủ đại số và hình học Bài 6. Hệ thức Vi - Ét và ứng dụng


Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Hệ thức Vi-ét

1. Các kiến thức cần nhớ

Hệ thức Vi-ét

Cho phương trình bậc hai ax2+bx+c=0(a0). Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình thì {x1+x2=bax1x2=ca.

Ví dụ: Phương trình 2x25x+2=0Δ=9>0 nên phương trình có hai nghiệm x1;x2.

Theo hệ thức Vi-ét ta có: {x1+x2=52x1x2=22=1.

Ứng dụng của hệ thức Vi-ét

+) Xét phương trình bậc hai: ax2+bx+c=0(a0).

Nếu phương trình có a+b+c=0 thì phương trình có một nghiệm là x1=1, nghiệm kia là x2=ca.

Nếu phương trình có ab+c=0 thì phương trình có một nghiệm là x1=1, nghiệm kia là x2=ca.

+) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng : Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình X2SX+P=0 (ĐK: S24P)

Ví dụ:

+ Phương trình 2x29x+7=0a+b+c=2+(9)+7=0 nên có hai nghiệm x1=1;x2=ca=72

+ Phương trình 2x2+9x+7=0ab+c=29+7=0 nên có hai nghiệm x1=1;x2=ca=72

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức liên quan giữa các nghiệm.

Phương pháp:

Bước 1 : Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm : {a0Δ0. Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : S=x1+x2=baP=x1x2=ca.

Bước 2 : Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng x1+x2 và tích x1x2, sau đó áp dụng bước 1.

Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm thường gặp là :

+) A=x21+x22=(x1+x2)22x1x2=S22P

+) B=x31+x32

=(x1+x2)33x1x2(x1+x2)=S33SP

+) C=x41+x42=(x21+x22)22x21x22

=[(x1+x2)22x1x2]22(x1x2)2=(S22P)22P2

+) D=|x1x2|

=(x1+x2)24x1x2 .

+)

E=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2

=S24P .

Dạng 2 : Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm

Phương pháp :

Xét phương trình bậc hai : ax2+bx+c=0(a0).

+) Nếu phương trình có a+b+c=0 thì phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca.

+ ) Nếu phương trình có ab+c=0 thì phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca.

+) Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình thì {S=x1+x2=baP=x1x2=ca.

Dạng 3 : Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

Phương pháp :

Nếu tam thức bậc hai ax2+bx+c(a0) có hai nghiệm x1x2 thì nó được phân tích thành nhân tử: ax2+bx+c=a(xx1)(xx2).

Dạng 4 : Tìm hai số khi biết tổng và tích

Phương pháp :

Để tìm hai số x,y khi biết tổng S=x+y và tích P=xy, ta làm như sau:

Bước 1: Xét điều kiện S24P. Giải phương trình X2SX+P=0 để tìm các nghiệm X1,X2.

Bước 2: Khi đó các số cần tìm x,yx=X1,y=X2 hoặc x=X2,y=X1.

Dạng 5 : Bài toán liên quan đến dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp :

Xét phương trình ax2+bx+c=0(a0). Khi đó:

1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac<0.

2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu {Δ>0P>0.

3. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt {Δ>0P>0S>0.

4. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt {Δ>0P>0S<0.

5. Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương {ac<0S<0.

Dạng 6 : Xác định điều kiện của tham số để nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp :

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm {a0Δ0.

Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.

3. Bài tập về hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Câu 1: Chọn phát biểu đúng. Phương trình ax2+bx+c=0(a0) có hai nghiệm x1;x2. Khi đó

A. {x1+x2=bax1.x2=ca

B. {x1+x2=bax1.x2=ca

C. {x1+x2=bax1.x2=ca

D. {x1+x2=bax1.x2=ca

Lời giải

Cho phương trình bậc hai ax2+bx+c=0(a0). Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình thì

{x1+x2=bax1x2=ca.

Đáp án A.

Câu 2: Chọn phát biểu đúng. Phương trình ax2+bx+c=0(a0)ab+c=0. Khi đó

A. Phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca

B. Phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca

C. Phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca.

D. Phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca.

Lời giải

+) Nếu phương trình ax2+bx+c=0(a0)a+b+c=0 thì phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca.

+ ) Nếu phương trình ax2+bx+c=0(a0)ab+c=0 thì phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca.

Đáp án C.

Câu 3: Cho hai số có tổng là S và tích là P với S24P. Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây?

A. X2PX+S=0

B. X2SX+P=0

C. SX2X+P=0

D. X22SX+P=0

Lời giải

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình X2SX+P=0 (ĐK: S24P)

Đáp án B.

Câu 4: Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình x26x+7=0

A. 16

B. 3

C. 6

D. 7

Lời giải

Phương trình x26x+7=0Δ=(6)24.1.7=8>0 nên phương trình có hai nghiệm x1;x2

Theo hệ thức Vi-et ta có x1+x2=61x1+x2=6

Đáp án C.

Câu 5: Tìm các giá trị của m để phương trình x22(m1)xm+2=0 có hai nghiệm trái dấu.

A. m<2

B. m>2

C. m=2

D. m>0

Lời giải

Phương trình x22(m1)xm+2=0(a=1;b=2(m1);c=m+2)

Nên phương trình có hai nghiệm trái dấu khi ac<01.(m+2)<0m>2

Vậy m>2 là giá trị cần tìm.

Đáp án C.

Câu 6: Tìm hai nghiệm của phương trình 18x2+23x+5=0 sau đó phân tích đa thức A=18x2+23x+5 sau thành nhân tử.

A. x1=1;x2=518; A=18(x+1)(x+518)

B. x1=1;x2=518; A=(x+1)(x+518)

C. x1=1;x2=518; A=18(x+1)(x518)

D. x1=1;x2=518; A=18(x1)(x+518)

Lời giải

Phương trình 18x2+23x+5=0ab+c=1823+5=0 nê phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1=1;x2=518. Khi đó A=18.(x+1)(x+518).

Đáp án A.

Câu 7: Tìm uv biết rằng u+v=15,uv=36u>v

A. 8

B. 12

C. 9

D. 10

Lời giải

Ta có S=u+v=15,P=uv=36 . Nhận thấy S2=225>144=4P nên u,v là hai nghiệm của phương trình

x215x+36=0(x12)(x3)=0[x=12x=3

Vậy u=12;v=3 (vì u>v) nên uv=123=9.

Đáp án C.

Câu 8: Biết rằng phương trình x2(2a1)x4a3=0 luôn có hai nghiệm x1;x2 với mọi a. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a.

A. 2(x1+x2)x1x2=5

B. 2(x1+x2)x1x2=5

C. 2(x1+x2)+x1x2=5

D. 2(x1+x2)+x1x2=5

Lời giải

Theo Vi-ét ta có {x1+x2=2a1x1x2=4a3{2(x1+x2)=4a2x1.x2=4a32(x1+x2)+x1x2=5

Vậy hệ thức cần tìm là 2(x1+x2)+x1x2=5.

Đáp án D.


Cùng chủ đề:

Lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Lý thuyết Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)
Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Lý thuyết Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)
Lý thuyết Hệ thức Vi - Ét và ứng dụng
Lý thuyết Ôn tập chương 1. Căn bậc hai. Căn bậc ba
Lý thuyết Ôn tập chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Lý thuyết Ôn tập chương 2. Hàm số bậc nhất
Lý thuyết Ôn tập chương 2. Đường tròn
Lý thuyết Ôn tập chương 3. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn