Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto - SGK Toán 10 Cánh diều — Không quảng cáo

I. ĐỊNH NGHĨA

1. Tích vô hướng của hai vecto có dùng điểm đầu

+ $(\overrightarrow {OA}, \overrightarrow {OB})$ là góc giữa hai tia OA, OB.

+ Tích vô hướng $\overrightarrow {OA}.\overrightarrow {OB}=|\overrightarrow {OA}|.|\overrightarrow {OB}|.\cos (\overrightarrow {OA}, \overrightarrow {OB})$

2. Tích vô hướng của hai vecto tùy ý

Cho hai vecto $\overrightarrow {a}, \overrightarrow {b}$ khác $\overrightarrow {0}$. Lấy điểm O bất kì, vẽ $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a$ và $\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b$.Khi đó

+ $\left( {\;\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = (\overrightarrow {OA}, \overrightarrow {OB})$.

+ $\overrightarrow {a}.\overrightarrow {b}=|\overrightarrow {a}|.|\overrightarrow {b}|.\cos (\overrightarrow {a}, \overrightarrow {b})$

* Chú ý:

+) $(\overrightarrow a ,\overrightarrow b) =(\overrightarrow b ,\overrightarrow a )$

+) $\left( {\;\overrightarrow a ,\overrightarrow 0 } \right) = \alpha$ tùy ý, với ${0^ \circ } \le \alpha  \le {180^ \circ }$

+) $\left( {\;\overrightarrow a ,\overrightarrow v } \right) = {90^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b$. Đặc biệt: $\overrightarrow 0  \bot \overrightarrow a \;\;\forall \overrightarrow a \;$

II. TÍCH CHẤT

Cho 3 vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow w$ bất kì và mọi số thực k, ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; = \overrightarrow v .\;\overrightarrow u \;\\\overrightarrow u .\;\left( {\overrightarrow v  + \overrightarrow w \;} \right)\; = \overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \overrightarrow u .\;\overrightarrow w \;\\\left( {k\overrightarrow u } \right).\overrightarrow v  = k.\left( {\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;} \right) = \overrightarrow u .\;\left( {k\overrightarrow v \;} \right)\end{array}$

III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG

1. Tính độ dài đoạn thẳng

$A{B^2} = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = {\overrightarrow {AB} ^2}$

2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

$AB \bot CD \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = 0$