Bài 2.4 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un), biết:
Đề bài
Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u n ), biết:
a) \({u_n} = - 4 - \frac{1}{n};\)
b) \({u_n} = \frac{{n - 5}}{{n + 2}};\)
c) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}n!.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
So sánh \({u_{n + 1}}\) và \({u_n}\)
Nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\) thì là dãy số tăng.
Nếu \({u_{n + 1}} < {u_n}\forall n\) thì là dãy số giảm.
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = - 4 - \frac{1}{{n + 1}} - \left( { - 4 - \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
b)
\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{n - 5}}{{n + 2}} = 1 - \frac{7}{{n + 2}}\\{u_{n + 1}} - {u_n} = 1 - \frac{7}{{n + 3}} - \left( {1 - \frac{7}{{n + 2}}} \right) = \frac{7}{{n + 2}} - \frac{7}{{n + 3}} = 7\left( {\frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}}} \right) > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
c)
\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}\left( {n + 1} \right)!}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.\left( { - 1} \right)n!\left( {n + 1} \right)}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!}} = - \left( {n + 1} \right)<0\)
Do đó, \( - \left( {n + 1} \right) < 1\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\forall n\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.