Bài 2. 4 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u _n ), biết:

a) ${u_n} =  - 4 - \frac{1}{n};$

b) ${u_n} = \frac{{n - 5}}{{n + 2}};$

c) ${u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}n!.$

Lời giải chi tiết

a)

$\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} =  - 4 - \frac{1}{{n + 1}} - \left( { - 4 - \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\end{array}$

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

b)

$\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{n - 5}}{{n + 2}} = 1 - \frac{7}{{n + 2}}\\{u_{n + 1}} - {u_n} = 1 - \frac{7}{{n + 3}} - \left( {1 - \frac{7}{{n + 2}}} \right) = \frac{7}{{n + 2}} - \frac{7}{{n + 3}} = 7\left( {\frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}}} \right) > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\end{array}$

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

c)

$\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}\left( {n + 1} \right)!}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.\left( { - 1} \right)n!\left( {n + 1} \right)}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!}} =  - \left( {n + 1} \right)<0$

Do đó, $- \left( {n + 1} \right)  < 1$

$\Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\forall n$

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.