Bài 2 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không nằm trong cùng một mặt phẳng. Gọi $O$ và $O'$ lần lượt là tâm của $ABCD$ và $ABEF$.

a) Chứng minh đường thẳng $OO'$ song song với các mặt phẳng $\left( {CDF{\rm{E}}} \right),\left( {ADF} \right)$ và $\left( {BCE} \right)$.

b) Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AF$ và $BE$. Chứng minh $MN\parallel \left( {CDF{\rm{E}}} \right)$.

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {OMN} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) $O$ là trung điểm của $B{\rm{D}}$ (theo tính chất hình bình hành)

$O'$ là trung điểm của $BF$ (theo tính chất hình bình hành)

$\Rightarrow OO'$ là đường trung bình của tam giác $B{\rm{D}}F$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow OO'\parallel DF\\DF \subset \left( {C{\rm{DFE}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow OO'\parallel \left( {C{\rm{DFE}}} \right)$

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}OO'\parallel DF\\DF \subset \left( {A{\rm{DF}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow OO'\parallel \left( {A{\rm{DF}}} \right)$

$O$ là trung điểm của $AC$ (theo tính chất hình bình hành)

$O'$ là trung điểm của $A{\rm{E}}$ (theo tính chất hình bình hành)

$\Rightarrow OO'$ là đường trung bình của tam giác $AC{\rm{E}}$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow OO'\parallel CE\\CE \subset \left( {BCE} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow OO'\parallel \left( {BC{\rm{E}}} \right)$

b) $M$ là trung điểm của $AF$ (theo tính chất hình bình hành)

$N$ là trung điểm của $BE$ (theo tính chất hình bình hành)

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của hình bình hành $ABEF$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow MN\parallel EF\parallel AB\\EF \subset \left( {C{\rm{D}}F{\rm{E}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel \left( {C{\rm{D}}F{\rm{E}}} \right)$

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}O \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\MN\parallel AB\\MN \subset \left( {OMN} \right)\\AB \subset \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\}$

$\Rightarrow$Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {OMN} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ là đường thẳng $d$ đi qua $O$, song song với $MN$ và $AB$.