Bài 2 trang 99 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$.

a) Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$. Chứng minh $IA = 2IM$.

b) Tìm giao điểm $E$ của đường thẳng $S{\rm{D}}$ và mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$.

c) Gọi $N$ là một điểm tuỳ ý trên cạnh $AB$. Tìm giao điểm của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Trong mặt phẳng $(SAC)$, gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $SO$. Ta có:

$\left. \begin{array}{l}I \in SO \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\\I \in AM\end{array} \right\} \Rightarrow I = AM \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)$

Xét tam giác $SAC$ có:

$ABCD$ là hình bình hành $\Rightarrow O$ là trung điểm của $AC$ $\Rightarrow SO$ là trung truyến của tam giác $SAC$.

Theo đề bài ta có $M$ là trung điểm của $SC$ $\Rightarrow AM$ là trung truyến của tam giác $SAC$.

Mà $I = SO \cap AM$

$\Rightarrow I$ là trọng tâm của tam giác SAC suy ra IA = 2IM.

b) Trong mặt phẳng $(SBD)$, gọi $E$ là giao điểm của $S{\rm{D}}$ và $BI$. Ta có:

$\left. \begin{array}{l}E \in BI \subset \left( {ABM} \right)\\E \in S{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow E = S{\rm{D}} \cap \left( {ABM} \right)$

c) Mặt phẳng (ABM) chứa BE, MN. Gọi $J$ là giao điểm của $MN$ và $BE$. Ta có:

$\left. \begin{array}{l}J \in BE \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\\J \in MN\end{array} \right\} \Rightarrow J = MN \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)$