Bài 2 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tứ diện đều $ABCD$. Chứng minh rằng $AB \bot CD$.

Lời giải chi tiết

Giả sử tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC,A{\rm{D}}$.

$M$ là trung điểm của $AC$

$N$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\Rightarrow MN\parallel AB,MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$

$M$ là trung điểm của $AC$

$P$ là trung điểm của $AD$

$\Rightarrow MP$ là đường trung bình của tam giác $AC{\rm{D}}$

$\Rightarrow MP\parallel C{\rm{D,MP}} = \frac{1}{2}C{\rm{D}} = \frac{a}{2}$

Ta có: $MN\parallel AB,MP\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow \left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = \left( {MN,MP} \right) = \widehat {NMP}$

Ta có: $BP$ là trung tuyến của tam giác $ABD$$\Rightarrow BP = \frac{{\sqrt {2\left( {A{B^2} + B{{\rm{D}}^2}} \right) - A{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$CP$ là trung tuyến của tam giác $ACD$$\Rightarrow CP = \frac{{\sqrt {2\left( {A{C^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right) - A{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$NP$ là trung tuyến của tam giác $BCP$$\Rightarrow NP = \frac{{\sqrt {2\left( {B{P^2} + C{{\rm{P}}^2}} \right) - B{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Xét tam giác $MNP$ có:

$\cos \widehat {NMP} = \frac{{M{N^2} + M{P^2} - N{P^2}}}{{2.MN.MP}} = 0 \Rightarrow \widehat {NMP} = {90^ \circ }$

Vậy $\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = {90^ \circ }$.