Bài 30 trang 79 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là:

Nếu $\widehat{ BAx}$ (với đỉnh $A$ nằm trên một đường tròn, một cạnh chứa dây cung $AB$), có số đo bằng nửa số đo của $\overparen{AB}$ căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh $Ax$ là một tia tiếp tuyến của đường tròn (h.29).

Lời giải chi tiết

Cách 1 (hình a). Chứng minh trực tiếp

Kẻ $OH \bot AB$ tại $H$ và cắt $(O)$ tại $C$ như hình vẽ.

Suy ra $H$ là trung điểm của $AB$ và $C$ là điểm chính giữa cung $AB$.

Theo giả thiết ta có: $\widehat {BAx} = \dfrac{1}{2}sđ \overparen{AB}.$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AB)

Lại có: $\widehat {{O_1}}=sđ \overparen{AC}= \dfrac{1}{2}sđ \overparen{AB}$ (góc ở tâm chắn cung $AC$).

Suy ra: $\widehat {BAx} = \widehat {{O_1}}.$

Ta có: $\widehat {{O_1}}+ \widehat {{OAB}} =90^0$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông $OAH$).

$\Rightarrow \widehat {BAx}+ \widehat {{OAB}} =90^0$ hay  $OA \bot Ax.$

Vậy $Ax$ phải là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A.$

Cách 2 (hình b) Chứng minh bằng phản chứng.

Nếu cạnh $Ax$ không phải là tiếp tuyến tại $A$ mà là cát tuyến đi qua $A$ và giả sử nó cắt $(O)$ tại $C$ thì $\widehat {BAC}$ là góc nội tiếp.

Điều này trái với giả thiết. Vậy cạnh kia không thể là cát tuyến, mà phải là tiếp tuyến $Ax.$