Bài 4 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tứ diện $ABCD$ và điểm $M$ thuộc cạnh $AB$. Gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng qua $M$, song song với hai đường thẳng $BC$ và $AD$. Gọi $N,P,Q$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ với các cạnh $AC,CD$ và $DB$.

a) Chứng minh $MNPQ$ là hình bình hành.

b) Trong trường hợp nào thì $MNPQ$ là hình thoi?

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\begin{array}{l}MN = \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABC} \right)\\PQ = \left( \alpha  \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\BC = \left( {ABC} \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\MN\parallel BC\end{array}$

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: $MN\parallel PQ\parallel BC$ (1).

$\begin{array}{l}MQ = \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABD} \right)\\NP = \left( \alpha  \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\\A{\rm{D}} = \left( {ABD} \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\\MQ\parallel A{\rm{D}}\end{array}$

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: $MQ\parallel NP\parallel A{\rm{D}}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $MNPQ$ là hình bình hành.

b) Để $MNPQ$ là hình thoi thì $MN = NP$.

Ta có:

$\begin{array}{l}MN\parallel BC \Rightarrow \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}\\NP\parallel A{\rm{D}} \Rightarrow \frac{{NP}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{MN}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{AC}}\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{AN}}{{AC}} + \frac{{CN}}{{AC}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{MN}}{{BC}} + \frac{{MN}}{{A{\rm{D}}}} = 1 \Leftrightarrow MN.\left( {\frac{1}{{BC}} + \frac{1}{{A{\rm{D}}}}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow MN.\frac{{BC + A{\rm{D}}}}{{BC.A{\rm{D}}}} = 1 \Leftrightarrow MN = \frac{{BC.A{\rm{D}}}}{{BC + A{\rm{D}}}}\end{array}$

Vậy nếu $MN = \frac{{BC.A{\rm{D}}}}{{BC + A{\rm{D}}}}$ thì $MNPQ$ là hình thoi.