Bài 4 trang 99 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho tứ diện ABCD. Gọi E,F,G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB,AC,BD sao cho EF cắt BC tại I(I≠C), EG cắt AD tại H(H≠D).
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Gọi E,F,G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB,AC,BD sao cho EF cắt BC tại I(I≠C), EG cắt AD tại H(H≠D).
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (EFG) và (BCD); (EFG) và (ACD).
b) Chứng minh ba đường thẳng CD,IG,HF cùng đi qua một điểm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đó.
‒ Để chứng minh ba đường thẳng CD,IG,HF cùng đi qua một điểm, ta chứng minh H,F và giao điểm của CD,IG thẳng hàng bằng cách chứng minh ba điểm cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
G∈(EFG)G∈BD⊂(BCD)}⇒G∈(EFG)∩(BCD)I∈EF⊂(EFG)I∈BC⊂(BCD)}⇒I∈(EFG)∩(BCD)
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (EFG) và (BCD) là đường thẳng GI.
Ta có:
F∈(EFG)F∈AC⊂(ACD)}⇒F∈(EFG)∩(ACD)H∈EG⊂(EFG)H∈AD⊂(ACD)}⇒H∈(EFG)∩(ACD)
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (EFG) và (ACD) là đường thẳng HF.
b) Gọi J là giao điểm của CD và IG.
Ta có:
J∈IG⊂(EFG)J∈CD⊂(ACD)}⇒J∈(EFG)∩(ACD)
Mà F∈(EFG)∩(ACD),H∈(EFG)∩(ACD) (theo chứng minh phần a).
Do đó ba điểm H,F,J thẳng hàng.
Vậy ba đường thẳng CD,IG,HF cùng đi điểm J.