Bài 4 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ cạnh đáy bằng $2a$ và chiều cao bằng $a\sqrt 2$. Khoảng cách từ tâm $O$ của đáy $ABC$ đến một mặt bên là

A. $\frac{{a\sqrt {14} }}{7}$.

B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{7}$.

C. $\frac{{a\sqrt {14} }}{2}$.

D. $\frac{{2a\sqrt {14} }}{7}$.

Lời giải chi tiết

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, kẻ $OH \bot SI\left( {H \in SI} \right)$.

$ABC$ là tam giác đều $\Rightarrow AI \bot BC$

$SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot BC$

$\Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot OH$

Mà $OH \bot SI$

$\Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH$

$ABC$ là tam giác đều $\Rightarrow AI = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3  \Rightarrow OI = \frac{1}{3}AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

$SO = a\sqrt 2  \Rightarrow OH = \frac{{SO.OI}}{{\sqrt {S{O^2} + O{I^2}} }} = \frac{{a\sqrt {14} }}{7}$

Chọn A.