Bài 4 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $K$ là trung điểm của $CD$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AK$ và $BC$.

Lời giải chi tiết

Gọi $I$ là trung điểm của $B{\rm{D}}$.

Ta có: $I$ là trung điểm của $B{\rm{D}}$

$K$ là trung điểm của $CD$

$\Rightarrow IK$ là đường trung bình của tam giác $BCD$

$\Rightarrow IK\parallel BC \Rightarrow \left( {AK,BC} \right) = \left( {AK,IK} \right) = \widehat {AKI}$

$IK = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$

$AI$ là trung tuyến của tam giác $AB{\rm{D}}$$\Rightarrow AI = \frac{{\sqrt {2\left( {A{B^2} + A{{\rm{D}}^2}} \right) - B{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$AK$ là trung tuyến của tam giác $AC{\rm{D}}$$\Rightarrow AK = \frac{{\sqrt {2\left( {A{C^2} + A{{\rm{D}}^2}} \right) - C{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Xét tam giác $AIK$ có:

$\cos \widehat {AKI} = \frac{{A{K^2} + I{K^2} - A{I^2}}}{{2.AK.IK}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow \widehat {AKI} \approx {73^ \circ }13'$

Vậy $\left( {AK,BC} \right) \approx {73^ \circ }13'$.