Processing math: 100%

Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Toán 11, giải toán lớp 11 chân trời sáng tạo Bài 1. Dãy số Toán 11 Chân trời sáng tạo


Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho dãy số (un) với un=2n1n+1. Chứng minh (un) là dãy số tăng và bị chặn.

Đề bài

Cho dãy số (un) với un=2n1n+1.

Chứng minh (un) là dãy số tăng và bị chặn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

• Chứng minh (un) là dãy số tăng:

Bước 1: Tìm un+1.

Bước 2: Xét hiệu un+1un.

Bước 3: Chứng minh un+1un>0un+1>un,nN, từ đó kết luận dãy số (un) là dãy số tăng.

• Chứng minh (un) bị chặn: Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết

• Ta có: un+1=2(n+1)1(n+1)+1=2n+21n+1+1=2n+1n+2

Xét hiệu:

un+1un=2n+1n+22n1n+1=(2n+1)(n+1)(2n1)(n+2)(n+2)(n+1)=(2n2+n+2n+1)(2n2n+4n2)(n+2)(n+1)=2n2+n+2n+12n2+n4n+2(n+2)(n+1)=3(n+2)(n+1)>0,nN

Vậy un+1un>0un+1>un. Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.

• Ta có: un=2n1n+1=2(n+1)3n+1=23n+1

nN ta có:

n+1>03n+1>023n+1<2un<2. Vậy (un) bị chặn trên.

n1n+11+1n+123n+13223n+1232un12

Vậy (un) bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số (un) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số (un) bị chặn.


Cùng chủ đề:

Bài 5 trang 34 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Bài 5 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 5 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 5 trang 42 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Bài 5 trang 49 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 5 trang 51 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Bài 5 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 5 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Bài 5 trang 60 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 5 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo