Bài 5 trang 77 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x + 1,\,\,x \ne 4\\2a + 1,\,\,x = 4\end{array} \right.$

a) Với a = 0, xét tính liên tục của hàm số tại x = 4.

b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 4?

c) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó?

Lời giải chi tiết

a) Với a = 0, tại x = 4, ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = {4^2} + 4 + 1 = 21\\f\left( 4 \right) = 2.0 + 1 = 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) \ne f\left( 4 \right)\end{array}$

Do đó hàm số không liên tục tại x = 4.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = {4^2} + 4 + 1 = 21\\f\left( 4 \right) = 2a + 1\end{array}$

Để hàm số liên tục tại x = 4 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = f\left( 4 \right)$

$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \;21{\rm{ }} = {\rm{ }}2a{\rm{ }} + {\rm{ }}1}\\{ \Leftrightarrow \;2a{\rm{ }} = {\rm{ }}20}\\{ \Leftrightarrow \;a{\rm{ }} = {\rm{ }}10}\end{array}$

Vậy với a = 10 thì hàm số liên tục tại x = 4.

c) TXĐ: $\mathbb{R}$

Với $x\; \in \;\left( {-{\rm{ }}\infty ;{\rm{ }}4} \right)$ có $f\left( x \right) = {x^2} + x + 1$ liên tục với mọi x thuộc khoảng này.

Với $x\; \in \;\left( {4;{\rm{ }} + \infty } \right)$ có $f\left( x \right) = 2a + 1$ liên tục với mọi x thuộc khoảng này.

Do đó hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ khi hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại điểm x = 4 khi a = 10.

Vậy với a = 10 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.