Bài 5 trang 99 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ vuông góc với mặt đáy, tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Chứng minh rằng:

a) $SM \bot \left( {ABCD} \right)$;

b) $AD \bot \left( {SAB} \right)$;

c) $\left( {SAD} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.

Lời giải chi tiết

a, Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$, có $M$ là trung điểm của $AB$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow SM \bot AB\\\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right\} \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)$

b) $ABCD$ là hình chữ nhật $\Rightarrow AB \bot AD$ (1)

Lại có $SM \bot (ABCD) \Rightarrow SM \bot AD$ (2)

Mà $SM,AB \subset (SAB)$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $AD \bot (SAB)$.

c) $AD \bot (SAB) \Rightarrow AD \bot SB$ (1)

Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ nên $SA \bot SB$ (2)

Mà $SA,AD \subset (SAD)$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $SB \bot (SAD)$.

Có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SB \bot (SAD)}\\{SB \subset (SBC)}\end{array}} \right.$ suy ra $(SBC) \bot (SAD)$.