Bài 7 trang 115 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều — Không quảng cáo

Đề bài

Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều ( Hình 98 ). Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 3 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m . Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

Lời giải chi tiết

Mô hình hoá chân tháp bằng cụt chóp tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$ với $O,O'$ là tâm của hai đáy. Vậy $AB = 5,A'B' = 2,CC' = 3$.

$ABCD$ là hình vuông

$\Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 5\sqrt 2  \Rightarrow CO = \frac{1}{2}AC = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$

$A'B'C'D'$ là hình vuông $\Rightarrow A'C' = \sqrt {A'B{'^2} + B'C{'^2}}  = 2\sqrt 2  \Rightarrow C'O' = \frac{1}{2}A'C' = \sqrt 2$

Kẻ $C'H \bot OC\left( {H \in OC} \right)$

$OHC'O'$ là hình chữ nhật $\Rightarrow OH = O'C' = \sqrt 2 ,OO' = C'H \Rightarrow CH = OC - OH = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$

$\Delta CC'H$ vuông tại $H \Rightarrow C'H = \sqrt {CC{'^2} - C{H^2}}  = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow OO' = C'H = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$

Diện tích đáy lớn là: $S = A{B^2} = {5^2} = 25\left( {{m^2}} \right)$

Diện tích đáy bé là: $S' = A'B{'^2} = {2^2} = 4\left( {{m^2}} \right)$

Thể tích hình chóp cụt là:

$V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'}  + S'} \right) = \frac{1}{3}.\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\left( {25 + \sqrt {25.4}  + 4} \right) = \frac{{39\sqrt 2 }}{2}\left( {{m^3}} \right)$

Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là: $\frac{{39\sqrt 2 }}{2}.1470000 \approx 40538432$ (đồng).