Bài 7 trang 94 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều — Không quảng cáo

Toán 11, giải toán lớp 11 cánh diều Bài 1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Toán 1


Bài 7 trang 94 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA.

Đề bài

Cho hình tứ diện ABCD . Gọi I là trung điểm cạnh CD . Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA.

a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI)

b) Gọi G là giao điểm của AM BN . Chứng minh rằng: \(\frac{{GM}}{{GA}} = \frac{{GN}}{{GB}} = \frac{1}{3}\)

c) Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC . Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và \(\frac{{GP}}{{GC}} = \frac{{GQ}}{{GD}} = \frac{1}{3}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng a và mặt phẳng (P) , ta tìm giao điểm của a và một đường thẳng b nằm trong (P) :

\(\left\{ \begin{array}{l}a \cap b = M\\b \subset (P)\end{array} \right. \Rightarrow M = a \cap (P)\)

Bước 1: Xác định mp (Q) chứa a

Bước 2: Tìm giao tuyến \(b = (P) \cap (Q)\)

Bước 3: Trong \((Q):a \cap b = M\) mà \(b \subset (P)\)suy ra \(M = a \cap (P)\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: M là trọng tâm của tam giác BCD

Nên M nằm trên trung tuyến BI (1)

Ta có: N là trọng tâm của tam giác ACD

Nên N nằm trên trung tuyến AI (2)

Từ (1) và (2) suy ra M N thuộc mp (ABI)

b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AG, BG

Ta có: HK // AB

AB // MN

Suy ra MN // HK

Theo định lý Ta-let, ta có: \(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{{GN}}{{GK}} = \frac{{MN}}{{HK}}(1)\)

Ta có:\(\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{1}{2},\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{3}\)

Do đó \(\frac{{MN}}{{AB}}:\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{MN}}{{HK}} = \frac{2}{3}(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra\(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{2}{3}GH = \frac{1}{2}GA \Rightarrow \frac{{GM}}{{\frac{1}{2}GA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{3}\)

Chứng minh tương tự ta được\(\frac{{GN}}{{GB}} = \frac{1}{3}\)

c) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BC, BD

Tam giác AHD có:\(\frac{{HM}}{{HD}} = \frac{{HQ}}{{HA}} = \frac{1}{3}\)

Suy ra: QM // AD

Do đó, tam giác QGM đồng dạng với tam giác DGA

Nên D, G, Q thẳng hàng

Ta có: QM // AD nên \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{HM}}{{HD}} = \frac{{HQ}}{{HA}} = \frac{1}{3}\)

Mà \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{QG}}{{GD}}\)

Do đó:\(\frac{{QG}}{{GD}} = \frac{1}{3}\)

Chứng minh tương tự ta được\(\frac{{GP}}{{GC}} = \frac{1}{3}\)

Suy ra điều cần chứng minh.


Cùng chủ đề:

Bài 7 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 7 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Bài 7 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 7 trang 72 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Bài 7 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Bài 7 trang 94 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 7 trang 100 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 7 trang 115 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Bài 7 trang 116 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Bài 7 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Bài 8 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều