Bài 8 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều — Không quảng cáo

Toán 11, giải toán lớp 11 cánh diều Bài tập cuối chương 4 Toán 11 Cánh diều


Bài 8 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy M, M’ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, B’C’; lấy các điểm G, G’, K lần lượt thuộc các đoạn AM, A’M’, A’B sao cho \(\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{{A'K}}{{A'B}} = \frac{2}{3}\)

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy M, M’ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, B’C’; lấy các điểm G, G’, K lần lượt thuộc các đoạn AM, A’M’, A’B sao cho \(\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{{A'K}}{{A'B}} = \frac{2}{3}\)

a) Chứng minh rằng CM’ // (A’BM’)

b) Chứng minh rằng G’K // (BCC’B’)

c) Chứng minh rằng (GG’K) // (BCC’B’)

d) Gọi\(\left( \alpha  \right)\)là mặt phẳng đi qua K và song song với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng\(\left( \alpha  \right)\)cắt cạnh CC’ tại điểm I . Tính \(\frac{{IC}}{{IC'}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a,b, Đường thẳng d // (P) nếu d //d', d' nằm trong (P).

c, (P)//(Q) nếu d,d' nằm trong (P) và d, d'//(Q).

Lời giải chi tiết

a) Trong mp(BCC’B’) có tứ giác BCC’B’ là hình bình hành nên BC // B’C’ và BC = B’C’.

Lại có M, N lần lượt là trung điểm của BC, B’C’ nên BM = C’M’ = ½ BC = ½ B’C’.

Tứ giác BMC’M’ có BM // C’M’ (do BC // B’C’) và BM = C’M’ nên BMC’M’ là hình bình hành

Do đó C’M // M’B, mà M’B ⊂ (A’BM’) nên C’M // (A’BM’).

b) Trong mp(A’BM’), xét ∆A’BM’ có  \(\frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{{A'K}}{{A'B}} = \frac{2}{3}\) nên G’K // M’B (theo định lí Thalès đảo)

Mà M’B ⊂ (BCC’B’) nên G’K // (BCC’B’).

c) Trong mp(BCC’B’), tứ giác CMM’C’ có C’M’ // CM và C’M’ = CM = ½ BC = ½ B’C’

Do đó tứ giác CMM’C’ là hình bình hành nên M’M // C’C và M’M = C’C.

Mà A’A // C’C và A’A = C’C nên A’A // M’M và A’A = M’M.

Khi đó AMM’A’ là hình bình hành nên A’M’ // AM và A’M’ = AM.

Lại có\(\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{2}{3}\) nên A’G’ = AG, do đó G’M’ = GM.

Xét tứ giác GMM’G’ có: G’M’ = GM (do A’M’ // AM) và G’M’ = GM.

Do đó GMM’G’ là hình bình hành nên G’G // M’M

Lại có M’M ⊂ (BCC’B’) nên G’G // (BCC’B’).

Ta có: G’K // (BCC’B’);

G’G // (BCC’B’);

G’K, G’G cắt nhau tại điểm G’ và cùng nằm trong (GG’K)

Do đó (GG’K) // ((BCC’B’).

d) Trong mp(ABB’A’), vẽ đường thẳng qua K và song song với AB, A’B’; cắt A’A và B’B lần lượt tại J và H.

Trong mp (ACC’A”), vẽ đường thẳng qua J và song song với AC, A’C’; cắt C’C tại I.

Ta có: IJ // AC mà AC ⊂ (ABC) nên IJ // (ABC);

JK // AB mà AB ⊂ (ABC) nên JK // (ABC).

Lại có IJ và JK cắt nhau tại J và cùng nằm trong mp(IJK) nên (IJK) // (ABC).

Theo bài, mp(α) // (ABC) và đi qua K nên mp(α) chính là mp(IJK).

Khi đó CC’ cắt (α) tại I.

Ta có: (IJK) // (ABC) mà (ABC) // (A’B’C’) nên (A’B’C’), (IJK), (ABC) là ba mặt phẳng song song với nhau.

Xét hai cát tuyến C’C và A’B bất kì cắt ba mặt phẳng song song (A’B’C’), (IJK), (ABC) lần lượt tại các điểm C’, I, C và A’, K, B. Khi đó theo định lí Thalès trong không gian ta có:\(\frac{{C'I}}{{A'K}} = \frac{{IC}}{{KB}}\)

Suy ra \(\frac{{KB}}{{A'K}} = \frac{{IC}}{{C'I}}\)

Theo bài, \(\frac{{A'K}}{{A'B}} = \frac{2}{3}\) nên \(\frac{{A'B}}{{A'K}} = \frac{3}{2}\)  do đó \(\frac{{A'B - A'K}}{{A'K}} = \frac{{3 - 2}}{2}\)  hay \(\frac{{KB}}{{A'K}} = \frac{1}{2}\)

Vậy \(\frac{{IC}}{{IC'}} = \frac{{KB}}{{A'K}} = \frac{1}{2}\).


Cùng chủ đề:

Bài 8 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 8 trang 72 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Bài 8 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Bài 8 trang 116 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Bài 8 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Bài 9 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 9 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 9 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Bài 9 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 9 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều