Bài tập 12 trang 157 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác MNP có MN = MP. Gọi E là trung điểm của MN, F là trung điểm của MP. Gọi I là giao điểm của NF và PE. Chứng minh rằng:

a) $\Delta MEP = \Delta MFN$

b) $\Delta IEN = \Delta IFP$

c) MI là phân giác của góc NMP.

d) EF // NP.

Lời giải chi tiết

a)Ta có: $ME = NE = {{MN} \over 2}$  (F là trung điểm của MN)

$MF = PF = {{MP} \over 2}$  (F là trung điểm của NP)

Mà MN = MP (giả thiết) nên ME = NE = MF = PF.

Xét tam giác MEP và MFN có:

ME = MF (chứng minh trên)

$\widehat {EMP}$   là góc chung

MP = MN (giả thiết)

Do đó: $\Delta MEP = \Delta MFN(c.g.c)$

b)Ta có: $\Delta MEP = \Delta MFN$   (chứng minh câu a) $\Rightarrow \widehat {MEP} = \widehat {MFN};\widehat {MPE} = \widehat {MNF}$

$\widehat {MEP} + \widehat {NEP} = \widehat {MFN} + \widehat {NFP}( = {180^0})$

Mà $\widehat {MEP} = \widehat {MFN}$   (chứng minh trên) do đó: $\widehat {NEP} = \widehat {NFP}.$

Xét tam giác IEN và IFP có:

$\widehat {IEN} = \widehat {IFP}$   (chứng minh trên)

EN = EP (chứng minh câu a)

$\widehat {ENI} = \widehat {FPI}(\Delta MEP = \Delta MFN)$

Do đó: $\Delta IEN = \Delta IFP(g.c.g)$

c) Xét tam giác MIN và MIP có:

MI là cạnh chung

MN = MP (giả thiết)

NI = PI  $(\Delta IEN = \Delta IFP)$

Do đó: $\Delta MIN = \Delta MIP(c.c.c) \Rightarrow \widehat {IMN} = \widehat {IMP}$

Vậy MI là tia phân giác của góc NMP.

d) Gọi H, K lần lượt là giao điểm của MI với EF, NP.

Xét tam giác MHE và MHF có:

ME = MF

$\widehat {HME} = \widehat {HMF}$   (chứng minh trên)

MH là cạnh chung.

Do đó: $\Delta MHE = \Delta MHF(c.g.c) \Rightarrow \widehat {MHE} = \widehat {MHF}$

Mà $\widehat {MHE} + \widehat {MHF} = {180^0}$   (kề bù) nên $\widehat {MHE} + \widehat {MHE} = {180^0}$

$\Rightarrow 2\widehat {MHE} = {180^0} \Rightarrow \widehat {MHE} = {90^0} \Rightarrow MH \bot EFhayMK \bot EF$

Xét tam giác MKN và MKP có:

MN = MP (gt)

$\widehat {KMN} = \widehat {KMP}(cmt)$

Mk là cạnh chung.

Do đó: $\Delta MKN = \Delta MKP(c.g.c) \Rightarrow \widehat {MKN} = \widehat {MKP}$

Mà $\widehat {MKN} + \widehat {MKP} = {180^0}$   (kề bù) nên $\widehat {MKN} + \widehat {MKN} = {180^0}.$

$\Rightarrow 2\widehat {MKN} = {180^0} \Rightarrow \widehat {MKN} = {90^0} \Rightarrow MK \bot NP$

Ta có: $EF \bot MK;NP \bot MK.$   Vậy EF // NP.