Bài tập 2 trang 130 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác DEF vuông tại D có cạnh DE = 12 cm, cạnh DF = 16 cm.

Trên cạnh DF lấy điểm A sao cho DA = DE (A nằm giữa D và F). Trên tia đối của tia ED lấy điểm B sao cho DB = DF (E nằm giữa D và B). Kẻ DH là đường cao của tam giác DEF. Đường thẳng DH cắt AB tại P.

a) Tính độ dài cạnh EF

b) Chứng minh $\Delta DEF = \Delta DAB$

c) Chứng minh DP là trung tuyến của tam giác DAB.

Lời giải chi tiết

a) ∆DEF vuông tại D

Ta có EF ² = DE ² + DF ² (định lí Pythagore)

=> EF ² = 12 ² + 16 ² = 400 = 20 ²

=> EF = 20 (cm).

b) Xét ∆DEF và ∆DAB ta có: DE = DA (gt)

$\widehat D$ (chung)

DF = DB (gt)

Do đó: ∆DEF = ∆DAB (c.g.c).

c) Ta có: $\widehat {DEF} + \widehat F = 90^\circ$ (∆DEF vuông tại D) và $\widehat {PDA} + \widehat F = 90^\circ$ (∆DHF vuông tại H)

$\Rightarrow \widehat {DEF} = \widehat {PDA}$

Mà $\widehat {DEF} = \widehat {DAP}$ (∆DEF = ∆DAB). Nên $\widehat {PDA} = \widehat {DAP}$

=> ∆DPA cân tại P

Vậy PD = PA (1)

Ta có: $\widehat {DFE} + \widehat {DEF} = 90^\circ$ (∆DEF vuông tại D)

$\widehat {BDP} = \widehat {DEF} = 90^\circ$ (∆DEH vuông tại H)

$\Rightarrow \widehat {DFE} = \widehat {BDP}$

Mà $\widehat {DFE} = \widehat {DBP}$ (∆DEF = ∆DAB). Nên $\widehat {BDP} = \widehat {DBP}$

=> ∆DBP cân tại P => PA = BP

=> P là trung điểm của AB ($P \in AB$)

Vậy DP là đường trung tuyến của tam giác DAB.