Bài tập 37 trang 125 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AM là trung tuyến. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc cuả B và C xuống đường thẳng AD.
Đề bài
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AM là trung tuyến. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc cuả B và C xuống đường thẳng AD.
a) Chứng minh tam giác AKC bằng tam giác BHA.
b) Gọi I là giao điểm của Am với CK. Chứng minh đường thẳng DI vuông góc với AC.
c) Chứng minh KM là tia phân giác góc HKI.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: ^BAH+^DAC=90∘(^BAC=90∘)
^ACK+^DAC=90∘ (∆AKC vuông tại K)
Do đó ^BAH=^ACK
Xét ∆AKC (^AKC=90∘) và ∆BHA (\)\widehat {BHA} = 90^\circ\)) có:
AC = AB (∆ABC vuông cân ở A)
Và ^ACK=^BAH
Do đó: ∆AKC = ∆BHA (cạnh huyền – góc nhọn).
b) ∆ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến (gt).
=> AM là đường cao của tam giác ABC. Vậy AM⊥BC tại M.
∆AIC có: AK là đường cao (AK⊥CI tại K)
CM là đường cao (CM⊥AI tại M)
AK cắt CM tại D (gt)
Do đó D là trực tâm của ∆AIC => ID là đường cao của ∆AIC. Vậy DI⊥AC.
c) ∆AMC vuông tại M (AM⊥BC tại M) có ^ACM=45∘ (∆ABC vuông cân tại A)
=> ∆AMC vuông cân tại M => AM = CM
Xét ∆AMH và ∆CMK có AM = CM
^MAH=^MCK (cùng phụ với góc AIK)
AH = CK (∆AKC = ∆BHA)
Do đó ∆AMH = ∆CMK (c.g.c) => MH = MK, ^AMH=^CMK
Ta có ^HMK=^HMC+^CMK=^HMC+^AMH=^AMC=90∘
∆MHK vuông tại M có MH = MK.
=> ∆MHK vuông cân tại M ⇒^MHK=45∘. Mà^MKH+^MKI=^AKI=90∘
Nên ^MKI=90∘−^MKH=90∘−45∘=45∘
Ta có ^MKI=^MKH(=45∘).Vậy KM là tia phân giác góc HKI.